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期末复习综合模拟二 一、填空题（共10小题，每题4分） 1．这次数学期末考试时间为90分钟，分针所转过的角的大小是： （用弧度制表示） 2．已知，若都是锐角，则= 3．若数列满足，前8项和，则= 4．已知点在角的终边上，若，则 5．已知函数，则 6．某公司2010年的年利润为3万元，经过技术革新，若每年年利润以20%的速度递增，则到2012年年底该公司这三年的总利润是： 万元 7．函数的最小正周期为： 8．不等式的解集是： 9．以下四个命题中，所有真命题的序号为： ① 函数与它的反函数的图像没有公共点； ② 若函数为单调函数，则它一定有反函数； ③ 若函数存在反函数，则必有成立； ④ 奇函数一定存在反函数，且其反函数仍然是奇函数. 10．已知函数，以下五个命题中所有真命题的序号为： ① 函数是偶函数；② 函数的最小值是0；③ 函数在上是减函数； ④ 函数在上是增函数；⑤ 函数的图像关于直线对称. 二、解答题（共5小题，满分60分） 11、（10分）渔船甲在海中某岛南偏西方向，与岛相距12海里处，看到渔船乙刚从岛 向北偏西的方向航行，速度为10海里/小时。问渔船甲需用多大速度朝什么方向（用反三角函数表示）航行，经过2小时能追上渔船乙？ 12、（12分）已知函数，其中为常数 ⑴ 若，判断函数的单调性； ⑵ 若，求时的取值范围。 13、（12分）已知数列的通项公式为， （1）写出这个数列的前三项；（2）求证是等差数列；（3）第几项开始为负值 14、（12分）将两角和与差的正弦公式：； 相加可得到： 相减可得到： 我们把这两个公式称为“积化和差公式”， ①请你先写出两角和与差的余弦公式： = = 请你类比上述推导“积化和差公式”的过程，利用两角和与差的余弦公式，推导出“积化和差公式”的另外两个公式： = = ② 利用“积化和差公式”化简函数，并写出函数的单调增区间，和函数的最大值以及取得最大值时的x的值 15、（14分）已知函数： （1）当时，画出函数在上的图像； （2）求出函数的值域、最小正周期、单调递增区间，用定义法证明函数的奇偶性 参考答案与评分标准 1．； 本题考查任意角概念，需抓住概念中的关键词“旋转” 2. 提示： 本题考查两角和的正弦，余弦，正切公式，需要根据角的范围选择恰当的三角比从而求得角 3. 提示：，为等差数列，公差， 本题是2010年闸北区统考中的一道题，体现数列中的“基本量法”的思想，考查了等差数列的概念，以及等差数列求和公式 4． 提示：； 本题主要考查任意角三角比的定义，而掌握任意角三角比定义是掌握三角恒等式的基础 5. ； 本题以反函数的形式考查了简单的余弦方程，改编自原统考题 6. 本题考查了等比数列的求和公式，是在已有求等比数列通项公式的题目基础上做了改编 7. 提示： 本题主要考查三角恒等式，特别是对二倍角公式以及辅助角公式进行了考查，体现三角变换中“化同名，化同角”的思想，即化归的数学思想方法 8．，利用正切函数图像可得 本题主要考查了正切函数的图像和性质，这类问题的掌握，为后续解决直线方程中斜率问题奠定基础 9．② ①函数与有交点；③虽然解析式相同，但定义域可能不同；④奇函数 本题主要考查了反函数的相关概念，反函数的概念是一个非常重要的概念 10. ②④⑤ 本题主要考查了对数函数图像，数形结合是学习函数图像及其性质的重要思想方法， 11. （10分）解：设渔船甲的速度为海里/小时 根据题意得：…………………………………………1分 在中，，…………2分+1分 ………………………………………………………………………………………2分 …………………………………………………………2分 所以渔船甲需用14海里/小时的速度朝北偏西方向航行经过2小时可追上渔船乙 ………………………………………………………………2分 本题采用比较典型的解斜三角形题型，考查了正余弦定理的应用，理解题意绘出图形是解决此题的关键 12. 解：⑴ 当时，任意，则………………………………………………2分 ∵，，……2分+2分 ∴ ，函数在上是增函数。……………………………………1分 ⑵ 当时，，…………………………………………………………3分 则。……………………………