浅析逐阶递推数列求通项的不同转化方法.docx

浅析逐阶递推数列求通项的不同转化方法曲靖市麒麟高级中学 周志刚 邮编655000 电话要：云南新课程实施5年来，高考的命题趋势已基本稳定，随着高频考点题目的稳定命题，三角函数及解三角形和数列的考查在文科的17题交替出现，如果不出意外，2015年高考17题将以数列命题，而文科生对于这一问题，不掌握数列通项的转化求法也将成为难题，且转化思想是数学教学和学习中重要的数学思想，这一重要思想有利于培养和训练学生的思维，以提高教学质量。关键词：转化、递推、等差、等比、构造、常数列法、特征根法、不动点法转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题。而在求数列通项的问题中，很多问题是给出递推数列求通项，一般不外乎转化构造为等差等比数列和模式化的问题。下面就我在多年教学中的感受和归纳总结，谈谈在数列教学中如何运用不同的转化方法解决这一问题。一阶递推式 已知数列的项满足a1=b,递推公式为题目:在数列(不是常数数列)中,且,求数列的通项公式.方法一(公式法) 递推式的两边同时加公式,递推公式变形为+=,转化成首项为b+,公比为的等比数列求通项（此法学生容易掌握）解：因为= - 4 所以 故数列是以为首项，公比为的等比数列，则方法二（差分法） 由条件进行递推可得,进一步可得,数列是公比为的等比数列，所以,,再将代入即可求得.解：由 得 所以又，故数列是以为首项，公比为的等比数列，则 则方法三(不动点法)数列可看作特殊的函数，因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数的有关知识，以它的概念与性质为纽带，架起函数与数列的桥梁，揭示它们之间的内在联系，从而有效的解决数列问题。为了说明此法的运用，先给出不动点的定义及定理1定义：方程的根称为函数的不动点.利用递推数列的不动点，可将某些递推关系为所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.定理1：若（），是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.证明：因为 是的不动点，，由得 所以是公比为的等比数列.本例可解为：由 得 故4为的不动点，则故数列是以为首项，公比为的等比数列，则方法四（特征根法）针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理2形式进行阐述.定理2：设上述递推关系式的特征方程的根，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.证明：因为由特征方程得作换元则当时，，数列是以为公比的等比数列，故当时，，为0数列，故（证毕）本例可解为：作方程 则，，数列是以为公比的等比数列，所以=-，则方法五（构造常数列法）等差和等比数列公差公比分别为0和1时为常数列，，若数列满足，则称数列是常数列，即，于是第项等于第1项可求出通项。某些已知递推公式的数列，若能恰当的构造常数列，利用常数列的特性，可求通项。对于已知递推式为的数列求通项，两边同除以，设，用待定系数法求出，转化为求常数列的通项。本例可解为：由 得：设，则…… 比较、得所以，所以数列是常数列，故 则故二阶递推式已知数列的项满足a1=b,递推公式为该类型可在递推式的两边同除，变形化简为，转化为一阶递推式中的方法一 至 方法四求通项，在此不再赘述。方法五（构造常数列法）可在递推式的两边同除，化为，再构造常数列，即可求出求出数列的通项公式题目:在数列(不是常数数列)中,且,求数列的通项公式.一解：由 得，设，则数列满足转化为一阶递推式中的方法一 至 方法四求通项二解（构造常数列法）:由，得于是有所以数列是常数列，则故三阶递推式已知数列中的、递推公式为（其中p，q均 为非零常数，且方法一(公式法)递推公式的两边分别加可变形为,转化为数列是以为首项，公比的等比数列，再结合累和法或其他方法求通项。题目：已知数列满足，求数列的通项公式。解：由，得， 则所以 故数列是以为首项，公比的等比数列，所以，用累和法及等比数列的前项和公式可求（略）方法二(特征根法)由递推公式，给出的数列，同样，若能求出对应方程的特征根仍能求出数列通项，下面以定理3的形式进行阐述定理3 对于由递推公式，给出的数列，方程， 叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根（1）当时，数列的通项为，（2）当时，数列的通项为，其中A= ，B=证明：先把原递推公式转化为，其中满足，显然是方程的两个非零根。（I）如果，则，成等比，很容易求通项公式。（II）如果，则{}成等比。公比为，首项为 所以，两边同除，转化成：（1）当时，则成等差数列，公差为，所以， 即： 可以整理成通式：当时，则令，，,就有， 利用公式法可