大一轮复习配套讲义(备考基础查清热点命题悟通)第五章数列.doc

第五章　数　列 第一节数列的概念与简单表示法 1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义：数列：按照一定顺序排列的一列数． 数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类： 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 an＋1an 其中n∈N* 递减数列 an＋1an 常数列 an＋1＝an (3)数列的通项公式： 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 2．数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式． 1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关． 2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． [试一试] 1．已知数列{an}的前4项为1,3,7,15，写出数列{an}的一个通项公式为________． 答案：an＝2n－1(nN*) 2．已知数列{an}的通项公式是an＝则a4·a3＝________. 解析：a4·a3＝2×33·(2×3－5)＝54.答案：54 1．辨明数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列． an＝ [练一练] 1．若数列{an}的前n项和S＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为an＝________. 答案：2n－11 2．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋，且a2＝，a4＝，则a8＝________. 解析：由已知得解得则an＝n＋，故a8＝.答案： 考点一 由数列的前几项求数列的通项公式 1.下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是(　　) A．an＝1　　　B．an＝C．an＝2－ D．an＝ 解析：选C　由an＝2－可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，…. 2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…；(2)－，，－，，…； (3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)；(4)9,99,999,9 999，…. 解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式an＝2(n＋1)(nN*)． (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×. (3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式an＝ (4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1. [类题通法] 用观察法求数列的通项公式的技巧 (1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整． (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想． 考点二 由an与Sn的关系求通项an [典例]　已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式： (1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b. [解]　(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，an＝4n－5. (2)a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1. 当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式． 当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝ [类题通法] 已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写． [针对训练] 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，nN*，求{an}的通项公式． 解：由a1＝S1＝(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，由已知a