第1章近世代数基本概念资料.ppt

数学与计算科学学院 近世代数基础(Abstract Algebra) 近世代数基础(Abstract Algebra) 高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基本 概念：群、环、域，对初学者也是很抽象的概念，因 此，在本课程的学习中，大家要多注意实例, 以加深 对概念的正确理解。 近世代数的习题，因抽象也都有一定的难度，但 习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节，因此，应 适当做一些习题，为克服做习题的困难，应注意教材 内容和方法以及习题课内容。 引言 近世代数理论的两个来源 引言 近世代数理论的两个来源 引言 近世代数理论的两个来源 引言 近世代数理论的两个来源 引言 近世代数理论的两个来源 第一章 基本概念 §1 集合 集合 若干个固定事物的全体. 组成集合的对象称 为集合的元素。集合一般用大写字母 A，B，C，…来表 示。集合的元素一般用小写字母a，b，c，…来表示。 §1 集合 则称A×B为A与B的笛卡儿积(简称为积). 其中序对(a, b)的 第一个元素a称为第一分量(或坐标)，第二个元素b 称为第二 分量(或坐标). §4 结合律 §4 结合律 §4 结合律 §4 结合律 证明　对n用数学归纳法. (I) n=2, 3时，定理是对的． §4 结合律 果, 这个步骤的最后一步总是对两个元进行运算: §4 结合律 即(1)式仍然成立．证完。 §5 交换律 §6 分配律 §6 分配律 §6 分配律 §7 一一映射、变换 §7 一一映射、变换 §7 一一映射、变换 §7 一一映射、变换 §8 同态 §8 同态 §8 同态 §8 同态 §8 同态 §8 同态 §9 同构、自同构 §9 同构、自同构 §9 同构、自同构 §9 同构、自同构 §10 等价关系与集合的分类 §10 等价关系与集合的分类 §10 等价关系与集合的分类 §10 等价关系与集合的分类 §10 等价关系与集合的分类 §10 等价关系与集合的分类 §10 等价关系与集合的分类 §6 分配律 证明　对n用归纳法. n=1, 2时，定理显然成立． 假设a1，a2，…的个数是n-1个时成立，则当为n个时有： 类似地，再看两种代数运算： 那么，对于B的任意元b和A的任意元a1，a2来说： 都有意义，都是A的元，但这两个元不一定相等。 映射定义复习 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应, 则称f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原(逆)像. §7 一一映射、变换 3) 一个既是满射又是单射的映射叫做一一映射(双射). 证明　略. 一一映射具有以下重要性质： 证明　要证明是一一映射，只须证明： 1）是映射；2）是单射；3）是满射. 定义 一个A到A的映射叫做A的一个变换. 对应地, 有满射变换、单射变换和一一变换的概念。 A的一个单射变换. A的一个满射变换. 问是否是A的一个满射变换？ 问是否是A的一个单射变换？ 引　代数系(统) 由一个集合和定义在这个集合上的一种或若干种代数运 算所构成的系统，称为代数系(统)。例如，整数集合Z和普通 的整数加法“ + ”构成一个代数系统，记为 (Z, +)；Z和普通加 法“ + ” 普通乘法“ · ”也构成一个代数系统，记为(Z, + , · )。 如何比较两个代数系统? 回忆两个三角形全等的定义: 经过运动, 顶点可以重合. 这 里涉及两个步骤: 第一, 点间有一个对应(映射); 第二, 对应后可以重合. §8 同态 现在比较两个代数系统 和 . 第一, 我们需要一个映射 ; 第二, 这个映射还能够使“运算重合”或说：保持运算. 具体的说, 假如 和 是 的两个元, 那么 和 都有义, 都是 的元. 保持运算即下面等式成立: 换一种表示，假定在 之下的像， 上面的等式即: 如果对于代数运算 和 有一个A到 的满射的同态映射存在, 则说这个映射是一个同态满射, 并说代数系统 与 同态，简称A与 同态.