实验二怎样计算Pi试卷.doc

数 学 实 验 实 验 报 告 学院：数学与统计学院 班级：数学与应用数学3班 学号：201370010314 姓名：康萍 时间：2016.04.05 实验二 怎样计算 实验目的 分别用下列三种方法计算的近似值，并比较三种方法的精确度： 数值积分法：通过使用Mathematica7.0编写梯形公式和辛普森公式的程序语言计算。 泰勒级数法：利用反正切函数泰勒级数计算。 蒙特卡罗（Monte Carlo）法：通过使用Mathematica7.0编写蒙特卡罗公式的程序语言来计算。 实验环境 基于Windows环境下的Mathematica7.0软件。 实验的基本理论和方法 数值积分法 以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G是一个扇形，由曲线及两条坐标轴围成，它的面积。算出了S的近似值，它的4倍就是的近似值。而扇形面积S实际上就是定积分 。 与有关的定积分有很多，比如的定积分就比的定积分更容易计算，更适合于用来计算。 一般地，要计算定积分，也就是计算曲线与直线所围成的曲边梯形G的面积S。为此，用一组平行于y轴的直线将曲边梯形T分成n个小曲边梯形，总面积S分成这些小曲边梯形的面积之和。如果取n很大，使每个小曲边梯形的宽度都很小，可以将它上方的边界近似的看作直线段，将每个小曲边梯形近似的看作梯形来求面积，就得到梯形公式。如果更准确些，将每个小曲边梯形的上边界近似的看作抛物线段，就得到辛普森公式。具体公式如下： 梯形公式 设分点将积分区间分成n等份，即。所有的曲边梯形的宽度都是。记 则第i个曲边梯形的面积近似的等于梯形面积。将所有这些梯形面积加起来就得到 这就是梯形公式。 辛普森公式 仍用分点将区间分成n等份，直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形。再做每个小区间的中点。将第i个小曲边梯形的上边界近似的看作经过三点的抛物线段，则可求得 其中，于是得到 这就是辛普森公式。 泰勒级数法 利用反正切函数的泰勒级数 当x的绝对值小于1，最好是远小于1，这样，随着指数的增加，x的幂快速接近于0，泰勒级数就会很快收敛，比如，取得到的就收敛的快，在 中取得到的的近似值的误差就小于，准确度度已经非常高了。我们并不知道是的多少倍，但是却能计算出与相差多少。记，则 因此，即，从而得到 （1） 比收敛得更快。利用泰勒级数计算出与的近似值再相加，然后再乘以4，就得到的近似值。 还可以考虑用来计算，它收敛的更快。由易算出 从而得到 即 （2） 称为Maqin公式，利用的泰勒展开式求出的近似值，再代入Maqin公式就可以求出的近似值。 由于是通过计算等算出来的，只要计算这些的近似值到足够的精确度，就能保证所得到的的近似值到足够的精确度，我们是通过计算 来得到的近似值的。当时，这个近似值的误差为 蒙特卡罗（Monte Carlo）法 在数值积分中，我们利用求单位圆面积的来得到，从而得到，单位圆的是一个扇形G，它是边长为1的单位正方形的一部分，单位正方形的面积。只要能够求出扇形G的面积在正方形的面积中所占的比例，就能立即得到S，从而得到的值。 为了求出扇形面积在正方形面积中所占的比例k，一个办法是在正方形中随机的投入很多点，使所投的每个点落在正方形每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点的个数m与所投点的总数n的比可以看作k的近似值。 而任何一种计算机语言都有这样的语言可以实现这样的随机点，能够产生在区间内均匀分布的随机数。在Mathematica中，产生区间内均匀分布的随机数的语句是 Random[] 产生两个这样的随机数x,y,则以（x,y）为坐标的点就是单位正方形内的一点P，它落在正方形内每个点的机会均等。P落在扇形内的充分必要条件是 。 这样利用随机数来解决问题的数学方法称为蒙特卡罗法。 实验内容与步骤及得到的结果分析 实验1 数值积分计算 实验内容 分别取n=5000,n=6000,n=1000,用梯形公式和辛普森公式计算的近