内蒙古工业大学 多媒体技术(第5章).ppt

第五章 小波变换和小波图像编码 小波介绍 一维哈尔小波变换 二维哈尔小波变换 小波图像编码 5.1 小波介绍 小波分析是近二十年才发展起来、并迅速应用到图像处理和语音分析等众多领域的一种数学工具。它是继一百多年前的傅立叶分析之后的一个重大突破，无论对古老的自然科学还是对新兴的高新技术应用都产生了强烈冲击。 小波理论是应用数学的一个新领域。要深入理解小波理论需要到比较多的数学知识。本章企图从工程应用角度出发，用比较直观的方法来介绍小波变换和它的应用，为读者深入研究小波理论和应用提供一些 背景材料。 小波简史 傅立叶理论指出，一个信号可以表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式。用傅立叶展开式表示一个信号时，只有频率分辫率而没有时间分辨率，这就意味我们可以确定信号中包含的所有频率，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候。为了继承博立叶分析的优点，同时又克服它的缺点， 人们一直在寻找新的方法。 20世纪初，哈尔(Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个与傅立叶基类似的基非常感兴趣。1909年他发现了小波，并被命名为哈尔小波(Haar wavelets)，他最早发现和使用了小波。 20世纪70年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地球物理学家Jean Morlet提出了小被变换(wavelet transform，WT)的概念。 进入20世纪80年代，法国的科学家Y．Meyer和他的同事开始为此开发系统的小波分析方法。Meyer于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，他用缩放(dilations)与平移(transltions)均为2j (j＞0的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基，使小波得到真正的发展。 小波变换的主要算法则是由法国的科学家Stephane Mallat在19884年提出。他在构造正交小波基时提出了多分辨率的概念，从空间上形象地说明了小波的多分辨率的特件、提出了正交小波的构造方法和快速算法，叫做Mallat算法。该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法。它的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位。 Inrid Daubechies，Ronald Coifman和Victor Wickerhaser等著名科学家把这个小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要的贡献。例如，Inrid Dubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波器组(filter banks)之间的内在关系，使离散小被分析变成为现实。 在信号处理中，自从S.Mallat和Inrid Daubchies发现滤波器组与小波基函数有密切关系之后，小波在信号(如声音信号，图像信号等)处理中得到极其广泛的应用。 小波概念 小波是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数，它的波形如图8-1(b)所示。图8-1(a)是大家所熟悉的正弦波，图8-1(b)是从许多使用比较广泛的小波中挑选出的几种一维小波。 (1)首先把原始图象顺序分割成8×8子块; (2)采样精度为P位(二进制), 把[0, 2P-1]范围的无符号数变换成[-2P-1,2P-1]范围的有符号数, 作为离散余弦正变换(FDCT)的输入; (3)在输出端经离散余弦逆变换(IDCT)后又得到一系列8×8子块, 需将数值范围[-2P-1,2P-1]变换回[0, 2P-1]来重构图象。 量化的作用: 在一定主观保真度图象质量前提下,丢掉那些对视觉影响不大的信息,通过量化可调节数据压缩比。 在众多的小波中，选择什么样的小波对信号进行分析是一个至关重要的问题。使用的小波不同，分析得到数据也不同，这是关系到能否达到使用小波分析的目的问题。如果没有现成的小波可用，那么还需要自己开发适用的小波。 小波函数在时域和领域中都应该具有某种程度的平滑度(smoothness)和集中性(concentration)，这个复杂的概念在数学上使用消失矩(vanishing moments)来描述，用N表示小波的消失矩的数目。例如，Daubechies小波简写成bdN，N数日的大小反映了Daubechies小波的平滑度和集中性。 信号分析一般是为了获得时间和频率域之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但时间方面的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不问，小波变换通过平移母小波(mother wavelet)可获得信号的时间消息，而通过缩放小波的宽度(或者叫做尺度)可获得信号的频率特性。 对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数，这些系数代表小波和局部信号之间的相互关系。本小节将介绍小波分析中常用的3个基本概念：连续小波变换、离散小波变换和小波重构。 小波分析 信号分析一般是为了获得时间和频率域之间的相互关系。傅立叶变换提供了