几何证明——中点模型(高级).doc

几何证明——中点模型(高级) 【经典例题】 例1、已知中，，边上的高线与的两条内角平分线、分别交于、两点，、的中点分别为、，求证：。 例2、已知，为边的中点，，求证：。 例3、已知是正方形和正方形上的点、的连线，点是的中点，连接、。 求证：且。 例4、如图，在四边形中，，分别是的中点，的延长线分别交的延长线求证： 例5、如图，在中，为的中点，分别延长、到点、，使，过、分别作、的垂线，相交于。求证：。 例6、如图，分别以的和为一边，在的外侧作正方形和正方形，过点作直线垂直于，交于，交于，证明：为中点，且的长为的一半。 例7、如图，已知四边形、均为正方形，、、、分别为、、、、的中点，求证：为正方形。 【提升训练】 1、在中，是的中点，，，求的度数。 2、如图所示，，是的中点，，，求证． 3、在四边形中，设,分别为,的中点，求证，当且仅当时等号成立． 4、以的两边、为腰分别向外作等腰和等腰，.连接，、分别是、的中点．探究：与的位置关系及数量关系． ⑴如图① 当为直角三角形时，与的位置关系是 ；线段与的数量关系是 ； ⑵将图①中的等腰绕点沿逆时针方向旋转()后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． 如图，在中，，在中，，且在线段上，连结，取 的中点，连结和．证明：． 6、如图，在中，，在中，，且，连结，取的中点，连结和．结论成立吗? 7、如图，和都是等腰直角三角形，点为的中点，求证：． 8、已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接，． ⑴求证：； ⑵将图①中绕点逆时针旋转，如图②所示，取中点，连接，．问⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． ⑶将图①中绕点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问⑴中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） 如图，是等腰直角三角形，，点，分别是边和的中点，点在射线上，且，点在射线上，且，求证：． 如图，在中，，在中，，且在线段上，连结，取的中点，连结和，结论成立吗? 12、如图，以的、边为斜边向形外作，和，且使，是 的中点，（1）求证：；（2）求的度数。 13、如图，三角形和三角形都是等腰直角三角形，，连接，取中点，连接、、，证明三角形是等腰直角三角形。 14、四边形是正方形，=，，连接，是中点，连接、。求证：且。 15、如图，分别以的和为一边，在的外侧作正方形和正方形，点是的中点．求证：点到边的距离等于的一半。 16、已知，均为正方形，连接，取中点，连接、，求证：为等腰直角三角形。 17、如图，在梯形中，，以为边向外作正方形，连接，、的中点分别为、，，求证：。 18、如图1，已知中，，在中，，连结，取中点，连结和，（1）若点在边上，点在边上且与点不重合，如图1，求证：且； （2）将图1中的绕点逆时针转小于的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明. 19、如图，分别以锐角的边、、为斜边向外作等腰、、. 求证：（1）；（2）. 20、已知，、均为正方形，、、、分别为、、、的中点，求证：为正方形。 21、如图，正三角形，以为顶点向外作两个正三角形和，连接、、，取、、中点、、连接，求证：为正三角形。 22、设中，，，点是的中点。 求证：. 23、如图，以任意四边形的四条边为边向外作四个正方形、、、，四个正方形的中心分别、、、，连接和。求证：且. ★初中几何证明专题★ |初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页 1 ◆中点模型◆