弹性力学讲义-例题3-b.ppt

例题3-7 矩形截面的柱体受到顶部的集中力和力矩的作用，图3-9，不计体力，试用下列应力函数 求解应力分量。 图3-9 例题3-8 试用下列应力函数 求解图3-10所示的半无限平面体在的边界上受均布压力q的问题。 图3-10 例题（第3章） 例题3-1 （见§3-1） 试考察应力函数 在图3-1所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计）。 图3-1 解: 首先考察给定的应力函数Φ是否满足相容方程。 代入后满足，说明该函数可作应力函数 。 当体力不计时，将Φ代入应力分量公式可得： 当 时，考察左、右两端的 分布情况： 左端 右端 应力分布如图所示，当 时应用圣维南原理能解决各种偏心拉伸的问题。 因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载P的偏心距为e。 则： 例题3-2 （习题3-7） 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，图3-2，试用应力函数 求解应力分量。 图3-2 解: 本题是较典型的例题, 已经给出了应力函数Φ, 可按下列步骤求解。 1. 将Φ代人相容方程, 显然是满足的。 2.将Φ代入应力关系式, 求出应力分量 3. 考察边界条件: 主要边界 y=±h/2上, 应精确满足式(2-15), 在次要边界x=O上, 只给出了面力的主矢量和主矩, 应用圣维南原理, 用三个积分的边界条件代替。注意 x=O 是负x面, 图 3-5 中表示了负 x 面上σx 和τxy 的正方向, 由此得 最后一个次要边界条件 (x=l上 ), 在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下, 是必然满足的, 故不必再校核。 代入应力公式, 得 例题3-3 （习题3-11） 挡水墙的密度为ρ1, 厚度为 b, 图 3-6, 水的密度为ρ2, 试求应力分量。 解: 用半逆解法求解。 1.假设应力分量的函数形式。因为在 y =-b/2 边界上, y =b/2边界上, 所以可假设在区域内 为 2. 推求应力函数的形式。由 推测Φ的形式, 3.由相容方程求应力函数。将Φ代得 代人Φ, 即得应力函数的解答, 其中巳略去了与应力无关的一次式。 4.由应力函数求应力分量。将φ代人式 (2-24), 注意体力 ，求得应力分量为 5. 考察边界条件 : 在主要边界 y =± b/2 上, 有 已知 ? 试问它们能否作为平面问题的应力函数 ? 解: 作为应力函数, 必须首先满足相容方程, 例题3-4 将Φ代入, (a) 其中 A=0, 才可成为应力函数 ; (b) 必须满足 3(A+E)+C =0, 才可成为应力函数。 例题3-5 图 3-7 所示的矩形截面柱体 , 在顶部受有集中力 F 和力矩 M=Fb/2的作用，试用应力函数 求解图示问题的应力及位移, 设在 A 点的位移和转角均为零。 图 3-7 解: 应用应力函数求解: (1) 校核相容方程 , 满足。 (2) 求应力分量，在无体力时，得 (3) 考察主要边界条件, 均己满足。 考察次要边界条件, 在 y=0 上 , 例题3-6 矩形截面的简支梁上, 作用有三角形分布荷载, 图3-8 试用下列应力函数 求解应力分量。 图3-8 解: 应用上述应力函数求解 : (1) 将Φ代人相容方程 ,