换元积分详解.ppt

高等数学电子教案 第二节 换元积分法 一、第一类换元法 通常一个函数的导数是容易求出的,但是要求一个 函数的原函数是很困难的.直到现在只能求出绝少部分 的原函数.为了求解原函数，现在介绍几种常用的积分 方法. 第一换元积分法也称为凑元法。 定理1 设u =φ(x)在区间[a, b]上可导, g(u)在[α.β]上有原函数G(u), 则不定积分存在, 且 证明: 用复合函数的求导法则，验证 第一换元积分法(凑元法)的关键是把f(x)dx凑成 g(φ(x))φ’(x)dx如何凑?这是一个技巧性很强的工作， 要求我们熟练掌握基本积分公式。在解题前需要一些 三角函数的恒等变换,分子分母的有理化, 分子加减某 项等方法.但不同的方法得到积分的结果往往不相同, 我们可通过求导可知道它们是否同一被积函数. “凑”的方法：通常把较复杂的函数看成g(φ(x)) 例1 例2 的积分， 对于形如 当m, n中有一个为奇数时，总可以用这个方法处理. 例3 例4 例5 (1)关于自变量是线性形式,例如 (2)被积函数可写成 常见的凑元法有以下几种情况: 的形式，例如 (3)被积函数可写成 f (xn)xn-1 的形式,例如 (4)被积函数可写成 g(xn) x2n-1 的形式,例如 (5)被积函数可写成 f (sinx)cosx或 f (cosx)sinx的形式, 例如 (6)被积函数可写成 (7)利用三角函数公式,常用的三角形式: ①倍角公式 ②积化和差公式 的形式,例如 此外，常用的三角公式还有sec2x=1+tg2 x等 例如 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例12 例13 例14 例15 例16 二、第二换元法 定理 设x=ψ(t)是单调, 可导的函数, 并且ψ’ (t)≠0, 又设 f (ψ(t))ψ’(t)具有原函数φ(t), 则有换元公式 成立，其中 是x =ψ(t)的反函数. 证明: 公式成立是有条件的. 1)等号右边的不定积分或原函数要存在, 且容易积分. 2)求出后要用反函数代回原变量.单调性是保证反函数的 存在. 常用的变量代换有下列四种类型： 利用三角函数进行代换,可以使被积函数简单 当被积函数含有平方和或平方差的二次根式时,根据恰 当的三角恒等式作三角代换. 例如对 1、 三角代换 例1 求 解: 例2 求 解: 例3 求 把x a及 x -a的结合起来, 我们得到 从上面的例子可看出: 可作代换 x = a sin t化去根式; ， 如果被积函数含有 ， 可作代换 x=a tan t化去根式; 如果被积函数含有 如果被积函数含有 ， 可作代换x=±a sect化去根式; 但具体解题时要分析被积函数的具体情况,选取尽可能简 捷的代换. 例如 当被积函数是三角有理式时,作“万能”代换,将被积 函数有理化. 例4 求 还有一部分采用反三角函数代换，例如 t x 1 例5 求 2、根式代换 目的是将无理数变成有理数,便于积分