人教版八年级上册数学第十三章线段的垂直平分线(1)性质定理与判定定理.ppt

线段的垂直平分线（1） ——性质定理与判定定理 线段的垂直平分线 几何的三种语言 进步的标志 逆定理 尺规作图 挑战自我 回味无穷 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等). 逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上). 结束寄语 严格性之于数学家,犹如道德之于人. 证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则. 漯河市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心。试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。 A B 实际问题1 C A B L 实际问题2 在107国道L（许昌—漯河段）的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？ 107 国 道 1、能说出线段的垂直平分线的定理和逆定理，会区别运用这两个定理。 2、体会学习数学的方法，观察、概括、验证、比较等在本课中的应用。 3、认识数学来源于生活，又服务于现实生活，体验数学的应用价值。 学习目标 A B 线段的垂直平分线 PA=PB P1 P1A=P1B …… 命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 P M N C 动手操作：作线段AB的垂直平分线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，你能发现什么？ 由此你能得到什么规律？ 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 你能证明这一结论吗? 已知:如图,MN⊥AB,垂足为C并且AC=BC，P是MN上任意一点.求证:PA=PB. A C B P M N 分析:(1)要证明PA=PB, 而△APC≌△BPC的条件由已知 故结论可证. 老师期望:你能写出规范的证明过程. AC=BC,MN⊥AB,可推知其能满足公理（SAS）. 就需要证明PA,PB所在的△APC≌△BPC， 命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 线段的垂直平分线 A B P M N C 证明：∵MN⊥AB ∴ ∠ PCA= ∠ PCB=90o 在 ΔPAC和Δ PBC中， AC=BC ∠ PCA= ∠ PCB PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC ∴PA=PB 已知:如图,MN⊥AB,垂足为C并且AC=BC ，P是MN上任意一点.求证:PA=PB. A B C M N ? P 当点P与点C重合时,上述证明有什么缺陷? ΔPCA与ΔPCB将不存在. PA与PB还相等吗? 相等! 此时,PA=CA,PB=CB 已知AC=CB ∴PA=PB 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. A C B P M N 如图： ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等). ′ 思考分析 你能写出“定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等”的逆命题吗? 逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 它是真命题吗? A B P 如果是.请你证明它. 已知:如图,PA=PB. 求证:点P在AB的垂直平分线上. 分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB的中点,),然后证明另一个结论正确. 想一想:若作出∠P的角平分线,结论是否也可以得证? A B P C ? 过点P作PC⊥AB垂足为C. 在Rt ΔPCA和Rt ΔPCB中 PA=PB，PC=PC ∴ ΔPCA ≌ ΔPCB(HL) ∴ＡＣ＝ＢＣ ∴PC是线段AB的垂直平分线. 即点P在线段AB的垂直 平分线MN上. 证明: 驶向胜利的彼岸 我能行 1 逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. A C B P M N 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分