数值分析--1误差.ppt

其原因在于：蝴蝶翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并引起微弱气流的产生，而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起连锁反映，最终导致其他系统的极大变化。 此效应说明，事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极小偏差，将会引起结果的极大差异。 * 数值分析是做什么用的？ 数学 模型 对复杂的实际问题 计算 方法 计算机 编程 近似解 第一章 误差 /* Error */ §1 误差的背景介绍 /* Introduction */ 1. 来源与分类 /* Source Classification */ 从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 /* Modeling Error */ 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */ 求近似解 —— 方法误差 (截断误差 /* Truncation Error */ ) 机器字长有限 —— 舍入误差 /* Roundoff Error */ §1 Introduction: Source Classification 大家一起猜？ 1 1 / e 解法之一：将 作Taylor展开后再积分 S4 R4 /* Remainder */ 取 则 称为截断误差 /* Truncation Error */ | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | = 0.747… … 由截去部分 /* excluded terms */ 引起 由留下部分 /* included terms */ 引起 §1 Introduction: Spread Accumulation 2. 传播与积累 /* Spread Accumulation */ 例：蝴蝶效应（气象学家洛伦兹，1963） ——南美洲亚马孙河流域热带雨林中的一只蝴蝶翅膀一拍，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯引起一场龙卷风？！ South America Texas 以上是一个病态问题 /* ill-posed problem*/ §1 Introduction: Spread Accumulation 例：计算 ? 公式一： 注意此公式精确成立 记为 则初始误差 ? ?? ? ! ! ! §1 Introduction: Spread Accumulation 考察第n步的误差 我们有责任改变。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 迅速积累，误差呈递增走势。 可见初始的小扰动 ? 公式二： 注意此公式与公式一 在理论上等价。 方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n N )。 可取 §1 Introduction: Spread Accumulation 取 §1 Introduction: Spread Accumulation 考察反推一步的误差： 以此类推，对 n N 有： 误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法 /* stable algorithm */ 在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 算法的稳定性会是一个非常重要的话题。 §2 误差与有效数字 /* Error and Significant Digits */ ? 绝对误差 /* absolute error */ 其中x为精确值，x*为x的近似值。 ，例如： 工程上常记为 ，称为绝对误差限 /* accuracy */， 的上限记为 注：e* 理论上讲是唯一确定的，可能取正，也可能取负。 e* 0 不唯一，当然 e* 越小越具有参考价值。 §2 Error and Significant Digits ? 相对误差 /* relative error */ x 的相对误差上限 /* relative accuracy */ 定义为 注：从 的定义可见， 实际上被偷换成了 ，而后才考察其上限。那么这样的偷换是否合法？ 严格的说法是， 与 是否反映了同一数量级的误差？ 关于此问题的详细讨论可见教材第8页。 §2 Error and Significant Digits ?有效数字 /* significant digits */ 用科学计数法，记 （其中 ）。若 （即