数学物理方法—第五章—傅立叶级数.ppt

在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如: 具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多少次, 单位是赫兹(Hz). 最常用的一种周期函数是三角函数 fT(t)=Asin(wt+j) 其中w = 2p /T  而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数sinwt和coswt的线性组合 Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt 人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近. 例3 求矩形脉冲 f(x) = hrect(x/2T)的复数傅立叶变换。 代入傅立叶积分公式，得 解： 由 证明： 3、 傅里叶变换的基本性质 (1) 导数定理 # (2) 积分定理 记 则 由导数定理 即 # (3) 相似性定理 通常将变换 f(x) f(ax) 称为相似变换，它将测量的尺子的单位改变为原来单位的1/a，相应地，测量的长度值变为原值的 a 倍，而保持函数的形式不变。有时也叫尺度变换。 # 证明 (4) 延迟定理 x 看作时间，记时由 x 到 x-x0 表示提前了 x0。记作“延迟”是习惯说法。 证明 证明 # (5) 位移定理 频域的位移 (6) 卷积定理 原函数的卷积与像函数的乘积间的关系 若 和 则 卷积： 证明 # Fourier变换的性质 性质1（导数性质）? 性质2（积分性质）? 性质4（延迟性质）? 性质3（相似性质）? 性质5（位移性质）? 性质6（卷积性质）? 典型例题 解 所给函数是奇函数,其Fourier变换为 . | | , 0 | | , sin 2 d 1 sin sin , | | , 0 | | , sin ) ( 1 0 2 ? ? ? í ì ￡ = - ? í ì ￡ = ò ￥ + p p p w w w wp p p t t t t Fourier t t t t f 并证明 变换 的 计算函数 例 再由Fourier积分公式得 . | | , 0 | | , sin 2 d 1 sin sin 0 2 ? ? ? í ì ￡ = - ò ￥ + p p p w w w wp t t t t 即 解 所给函数是偶函数,其Fourier变换为 . cos 2 d cos 4 2 , cos ) ( 2 | | 0 4 2 | | t e t Fourier t e t f t t - ￥ + - = + + = ò p w w w w 并证明 变换 的 计算函数 例 再由Fourier积分公式得 . cos 2 d cos 4 2 | | 0 2 2 t e t t - ￥ + = + + ò p w w w w 即 解 法一 利用位移性质 . sin ) ( ) ( 4 0 变换 的 计算函数 例 Fourier t e t tu t f t w b - = 再由微分性质 法二 ], ) ( [ 2 1 ] ) ( [ 2 1 ] sin ) ( [ 0 0 0 t i t t i t t e e t tu i e e t tu i t e t tu w b w b b w - - - - - = F F F , 由位移性质 所以由卷积公式 . sin ) ( ) ( 5 0 变换 的 计算函数 例 Fourier t e t tu t f t w b - = 及 由 解 )] ( ) ( [ ] sin 0 0 0 w w d w w d p w - - + = i t F[ t y ü ? í ì + - - + = 2 0 0 ) ( 1 * )] ( ) ( [ 2 1 )] ( [ w b w w d w w d p p i i t f F 得 解 解 解 所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个数轴上连续. ò p = p 0 cos ) ( 2 ktdt t u a n ò p = p 0 cos sin 2 ktdt t E ò - - + = p p 0 ] ) 1 sin( ) 1 [sin( dt t k t k E p p 0 1 ) 1 cos( 1 ) 1 cos( ú ? ù ê ? é - - + + + - = k t k k t k E ) 1 ( 1 k ? ? ? í ì + = = p - - = 1 2 , 0 2 , ] 1 ) 2 [( 4 2 n k n k k E 当 当 ) , 2 , 1 ( L = n 有限区间中的函数的的