数模竞赛中的图论问题(大专).ppt

数模竞赛中的图论问题 上海海事大学 丁颂康 一.图的一些基本概念 图(Graph)是由一些点以及连接点对的一些边构成的一种组合结构。即 G = ( V, E ) 其中：V称为点集，E称为边集。 如果把V看成一些元（可以是各种各样的事或物 )，那么E就是两个元之间的某种关系（存在或不存在）。 由于图具有这种特征，因此图论就成为离散数学领域中一门应用性非常强的分枝学科。 二.图上的问题 案例一 扫雪车 (Snow Plowing MCM1990-B） 1.问题的提出 上图是Wicomico County (State of Maryland) 的公路图. 一场大雪以后,需要出动扫雪车进行清扫. 如果道路两边需要来回各清扫一遍, 并且出动两辆扫雪车, 应该如何安排任务? 2.分析和建模 Walk（途径）： 其中： Trail（迹）：边不重的Walk Path（路）：点不重的Walk 闭的Walk，Trail和Path (Cycle) Tour（环游）：包含所有边的闭的Walk Euler问题和边的行遍性: 七桥问题（1732） Euler tour 及其存在的条件。 Euler 迹的Fleury算法： 除非没有别的选择,不走剩下图的割边。 中国邮递路线问题—管梅谷1960 (Chinese Postman Problem) 3.原问题的求解 单车单程 (等同于邮路问题) 单车双程 (有向Euler图) 双车双程 (边的分配→单车双程) (简化:原图中去掉尽可能大的Euler子图) 竞赛中的其它图论问题： 灾情巡视路线（1998 CMCM-B） ——点的行遍性 钢管的订购和运输（2000 CMCM-B） ——最短路算法 乘公交，看奥运（2007 CMCM-B） ——最短路算法 交巡警服务平台的设置与调度（2011-B） ——最短路算法 三.可以用图论方法 讨论的问题  案例二 足球队排名次(CMCM1993-B) 1.问题的提出 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 T1 - 0:1 2:2 2:0 3:1 1:0 0:1 0:2 1:0 1:1 - - T2 - 2:0 0:0 1:1 2:1 1:1 0:0 2:0 0:2 - - T3 - 4:2 2:1 3:0 1:0 0:1 1:0 0:1 - - T4 - 2:3 0:1 0:5 2:1 0:1 0:1 - - T5 - 0:1 - - - - 1:0 0:0 T6 - - - - - - - T7 - 1:0 2:1 3:1 3:1 2:0 T8 - 0:1 1:1 3:1 0:0 T9 - 3:0 1:0 1:0 T10 - 1:0 2:0 T11 - 1:2 竞赛图 (tournament) 邻接矩阵 （adjecency matrix） 当且仅当有弧从 指向 2.分析与建模 得分向量 逐级得分向量 可以证明: 其中 是全1向量 的第i,j个元素是 的长度为k的有向路的条数。 定理1 假设 A是点数不小于5的双向连通竞赛图D的邻 接矩阵。那么, 。其中, d是D的有向直径。 定理2 （Perron-Frobenius定理）本原矩阵A的最大特征 根r是一个正的实数。进而有 其中，s是A对应于r的正特征向量。 上例中, , 点数小于5或非双向连通的情况. 可以用图的方法描述的其它问题： 赛程安排问题（2002 CMCM-D） ——对集和边的着色 锁具装箱（1994 CMCM-B） ——二分图的边独立集 谢 谢 2013. 9. 7