全等三角形辅助线.ppt

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全等三角形辅助线 知识要点: 判断三角形全等公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL 如果题目给出的条件不全,就需要根据已知的条件结合相应的公理来进行分析,先推导出所缺的条件然后再证明。 一些较难的证明题要添加适当的辅助线构造合适的全等三角形,把条件相对集中起来,再进行等量代换,就可以化难为易了。 构造辅助线的方法: 1.截长补短法。 2.平行线法(或平移法):若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线,对Rt△,有时可作出斜边的中线。 3.倍长中线法:题中条件若有中线,可延长一倍,以构造全等三角形,从而将分散条件集中在一个三角形内。 4.翻折法:若题设中含有垂线、角的平分线等条件的,可以试用轴对称性质,沿轴翻转图形来构造全等三角形。 1.截长补短法(通常用来证明线段和差相等) “截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段,使其中一段与较短线段相等,然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法. “补短法”为把两条线段中的一条补长成为一条长线段,然后证明补成的线段与较长的线段相等,或是把一条较短的线段加长,使它等于较长的一段,然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等。 例1、如图AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA,CD过点E,求证:AB=AC+BD. 分析:本题是线段和差问题的证明,基本方法是截长补短法,即在AB上截取AF,使AF=AC,这样,只要证明FB=BD即可,于是将问题转化为证明两线段相等。 答案 证明: 在AB上取点F,使AF=AC,连接EF ∵EA平分∠CAB ∴∠CAE=∠FAE ∴△CAE≌△FAE(SAS) ∴∠C=∠AFE ∵AC∥BD ∴∠C+∠D=180° 又∵∠AFE+∠BFE=180° ∴∠D=∠BFE ∵EB平分∠ABD ∴∠EBF=∠EBD ∴△BFE≌△BDE(AAS) ∴BD=BF ∵AB=AF+BF ∴AB=AC+BD 分析过程: 要证:AB=AC+BD 需证:AC=AF、BD=BF 要证: AC=AF、BD=BF 需证:△BFE≌△BDE 要证:△BFE≌△BDE 需证: ∠D=∠BFE 要证: ∠D=∠BFE 需证: ∠C=∠AFE 要证:∠C=∠AFE 需证: △CAE≌△FAE 注: (1)若分别延长AC和BE,相交于点G,能否证明结论成立?如能,请你证明,如不能,请说明理由。 (2)本题中E点是否是CD的中点,如是,请证明。 (3)本题的大前提AC∥BD不变,而在以下四个条件:EA是∠BAC的平分线,EB是∠ABD的平分线,E是CD的中点,AB=AC+BD中,任取两个作为已知条件,另外两个作为结论,命题是否成立?请你说明理由。 例2、 已知:如图所示,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC,求证:∠A + ∠C = 180° 例3、已知:AD为△ABC的角平分线,AB>AC,求证:ABAC>BD-DC。 练习1、在RT△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD,求证BD=2CE.(要求:不能用补短法,只能用截长法) 练习2、已知,如图:在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2,求证:AB=AC+CD.(要求:不能用截长法,只能用补短法) 2.平行线法(或平移法) 如果题目中含有中点,可以通过中点作平行线或中位线 对于Rt△,有时可作出斜边的中线. 例1、△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q,AP、BQ交于点O。 求证:AB+BP=BQ+AQ. 说明: ⑴本题也可以在AB截取AD=AQ,连OD,构造全等三角形,即“截长补短法”. ⑵本题利用“平行法”解法也较多,举例如下: 如图(2),过O作OD∥BC交AC于D,则△ADO≌△ABO来解决. 如图(3),过O作DE∥BC交AB于D,交AC于E,则△ADO≌△AQO,△ABO≌△AEO来解决. 如图(4),过P作PD∥BQ交AB的延长线于D,则△APD≌△APC来解决. 如图(5),过P作PD∥BQ交AC于D,则△ABP≌△ADP来解决. 例2、如图,△ABC中,AB=AC。E是AB上异于A、B的任意一点,延长AC到D,使CD=BE,连接DE交BC于F。求证:EF=FD。 3.倍长法 如果题中条件有中线,可将中线延长一倍,以构造全等三角形,从而将分散条件集中在一个三角形内。 例1、如图1,AD是△ABC的中线,求证:AB+AC>2AD 例2、如图,AD为△ABC的中线,∠ADB、∠ADC的平分线交AB、AC于E、F。求证:

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