Leslie人口模型及例题详解.doc

Leslie人口模型 现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。20世纪40年代提出的Leslie人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。 模型假设 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变 化。假设女性最大年龄为岁，将其等间隔划分成个年龄段，不妨假设为的整数倍，每隔年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化; (2) 记为第个年龄组次观察的女性总人数，记 第年龄组女性生育率为（注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为，记假设不随时间变化; (3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响; (4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。 建立模型与求解 根据以上假设，可得到方程 = ,2.…,-1 写成矩阵形式为 其中，L= （1） 记 （2） 假设n（0）和矩阵L已经由统计资料给出，则 为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件： (i) si 0，i=1，2，…，m-1; (ii) bii=1，2，…，m，且bi不全为零。 易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。在条件（i）、（ii）下，下面的结果是成立的： 定理1 L矩阵有唯一的单重的正的特征根，且对应的一个特征向量为 =[1，s1/，s1s2/，…，s1s2 …sm-1/]T 3） 定理2 若是矩阵的任意一个特征根，则必有。 定理3 若第一行中至少有两个顺次的，则 （i）若是矩阵L 的任意一个特征根，则必有。 （ii）=， （4） 其中c是与n（0）有关的常数。 定理1至定理3的证明这里省去。由定理3的结论知道，当t充分大时，有 (5) 定理4 记，q（）=/+/2+…+/，则是L的非零特征根的充分必要条件为 q（）=1 （6） 所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形态，而各个年龄组的人口数近似地按－1的比例增长。由（5）式可得到如下结论： (i) 当1时，人口数最终是递增的； (ii) 当1时，人口数最终是递减的； (iii) 当=1时，人口数是稳定的。 根据（6）式，如果=1，则有 b1 + b2s1 + b3s1s2 + … + bms1 s2…sm-1=1 记 R= b1 + b2s1 + b3s1s2 + … + bms1 s2…sm-1 7） R称为净增长率，它的实际含义是每个妇女一生中所生女孩的平均数。当R1时，人口递增；当R1时，人口递减。 Leslie模型有着广泛应用，这里我们给出一个应用的例子，供大家参考。 公园大象管理 南非的一家大型自然公园放养了大约11000头大象，管理部门希望为大象创造一个健康的生存环境，将大象的总数控制在11000头左右。每年，公园的管理人员都要统计当年大象的总数。过去20年里，公园每年都要处理一些大象，以便保持大象总数维持在11000头左右，通常都是采用捕杀或者迁移的方法来实现。统计表明，每年约处理600-800头大象。 近年来，公众强烈反对捕杀大象行为，而且即使是迁移少量的大象也是不允许的。但是一种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功。一只成年母象打了避孕针后，两年内不再怀孕。 公园有一些关于大象的资料，供建模参考： 1几乎不再迁入或迁出大象； 2目前性别比接近1：1，采取控制后，也希望维持这个比例； 3初生象的性别比也是大约1：1，生双胎的比例为1.35% 4母象初次怀孕大约在10-12岁,一直到60岁大约每3.5年怀胎一次,60岁后不再受孕,怀孕期为22个月； 5避孕针可能引起大象每个月都发情,但不受孕,因为大象通常每3.5年生育1次,所以按月循