三项式展开的性质及应用.PDF

杭州师范大学2014 届本科毕业设计（论文）选编 三项式展开的性质及应用 ——基于二项式定理的推广与探究 毛 妍 数学与应用数学（师范） 指导老师 谷 峰 摘要：二项式定理是初等数学中的一个重要定理，其形成过程是组合知识的应用，同时 也是进一步学习概率统计的准备知识，在高等数学中更是许多重要公式的共同基础。 从一个新的角度审视二项式定理，将二项式推广至三项式定理、三项式系数、三项式的 应用，从而可以得到类似与二项式定理、二项式系数的一系列三项式的性质，本文给出了其 中的八大性质，同时给出其相应的证明过程。在三项式的应用方面，本文列举了求三项式系 数、分配问题、做母函数、三项展开式不相等关系等例题。最后，利用新得到三项式系数的 一些性质证明了几个新的组合恒等式。 关键词：二项式定理；三项式定理；三项式系数；组合恒等式 1 引 言 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由牛顿于 1664-1665 年提出，其一般形式是： n n r nr r (a b) C a b (n, r N ,且0 r n) n r 0 n! r nr r Cr 其中通项为C a b ，二项式系数为 ，若令n r q ，则 n n r!(n r)! n! Cr (q,r为非负整数，且q r n ） n r!q! 二项式定理的另一个形式是: n n r r (1x ) C x (n,r N ,且0 r n) n r 0 与这个形式类似，我们可以引入如下展开式： 2 n 0 1 2 2 r r 2n 2n (1x x ) T T x T x T x T x （1） n n n n n 关于二项式定理以及与之密切相关的二项式系数，有许多有趣的性质，许多作者进行过 T r 深入细致的研究，例如，可见文献[1-5]。但是关于展开式（1）及其展开式系数 的性质， n 却很少有人研究，这正是我们选择这一课题的动机。 2 n n 定义 1：我们把(1x x ) 的展开式称为一元三项 次展开式，简称为三项展开式。