《数学物理方法》第七章_08-2008级.ppt

第七章 贝塞尔函数 本章介绍贝塞尔方程、虚宗量贝塞尔方程及球贝塞尔方程的解; 它们解的微分与积分表达式,递推公式、渐近公式; *贝塞尔方程本征函数的正交性、正交归一关系式与完备性等; *在此基础上，还介绍了平面波分别按柱面波和球面波的展开． 本章的内容在电动力学(如光导波的电磁结构①)及量子力学(如弹性散射中的分波法②)中均有重要应用． ①汪德新．理论物理学导论第二卷：电动力学．北京：科学出版社，2005．157-163 ②汪德新．理论物理学导论第三卷：量子力学．武汉：湖北科学技术出版社，2003.316-323 §7. 1 贝塞尔方程与贝塞尔函数 本节首先用级数解法求解贝塞尔方程，得到两个特解Jn(x)和J-n(x) ，称为第一类贝塞尔函数，简称贝塞尔函数． Jn(x)和J-n(x)通过线性叠加得到第二类贝塞尔函数Nn(x)，也称诺伊曼(Neumann)函数． Jn(x)和Nn(x)的线性叠加还可得到第三类贝塞尔函数Hn(1)(x) , Hn(2)(x)，也称汉克尔(Hankel )函数． Jn(x),J-n(x),Nn(x), Hn(1)(x)和Hn(2)(x)都是贝塞尔方程的特解． 在不同情况下使用不同特解组成的通解． §7.1.1贝塞尔方程的级数解 二阶线性齐次常微分方程 x2y?+xy?+(x2-v2)y＝0，0≤x≤b (7.1.1) 称为贝塞尔方程． 现在，在x=0的邻域求解贝塞尔方程． 1.级数解的形式 由p(x)=1/x, q(x)=1-v2/x2 , 可见, x=0是p(x)的一阶极点，是q(x)的二阶极点．因此，x=0是方程的正则奇点．方程的第一个解具有形式 2.指标方程 由x的最低次幂xr的系数为零，即有 (r2-v2)C0=0 因C0≠0，即得指标方程r2-v2=0．由此得指标 r1=v r2=-v (7.1.4) 3.系数递推公式 为确定起见，令v＞0，并将r=r1=v ，代人方程(7.1.3)，得 改变第二项的求和指标，可得 由x的同次幂系数之和为零 4.由递推公式求系数得特解 将系数代入式(7.1.2)，即得贝塞尔方程的一个特解 5. 另一个特解 同理，令r=r2=-v，可得另一特解 级数解y2(x)的收敛范围是0|x|? §7.1.2 当v≠n(整数)，方程的通解是贝塞尔函数J±v(x)的线性组合 (1)贝塞尔函数J±v(x)的定义． 若在特解y1(x)中取 便得到v阶贝塞尔函数(3.4节)， 若在特解y2(x)中取 即得一阶贝塞尔函数(3.4节) 图7.1 自变量为实数时头几个Jv(x)的函数曲线． (2)当v不为整数时Jv(x)与J-v(x)是线性无关的。实际上，当x→0时 当v不为整数时, Jv(x)与J-v(x)的行为完全不同, 是线性无关的两个特解;故方程的通解是两者的线性组合 §7.1.3 无论v是否整数，方程的通解可表示为Jv(x)与诺伊曼函数Nv(x)的线性组合 (1) 当v=n(整数)时, Jn(x)与J-n(x)是线性相关的．在3.4节已证明 Jn(x)=(-1)nJ-n(x) (7.1.12) 因而它们不能组合成通解，这时与Jv(x)线性无关的特解可按式( 6.1.4)求得 但是用这个公式计算a与Dk通常是很麻烦的．人们宁愿重新定义一个与Jn(x)线性无关的函数作为特解，它就是诺伊曼函数． (2)诺伊曼函数的定义及其微分表达式 诺伊曼函数的定义是 (7.1.13) 诺伊曼函数又称为第二类贝塞尔函数． 当v=n(整数)时，诺伊曼函数的定义式是不定式．利用洛必达法则，可以得到它的微分表达式 图7.2给出自变量为实数时头几个Nn(x)的函数曲线． (3)诺伊曼函数是贝塞尔方程的解 贝塞尔函数Jv(x)是贝塞尔方程的解，将y=Jv(x) 代人式(7.1.1)，可得 对v求导，可得 同理，由J-v(x)是贝塞尔方程的解 用式(7.1.15)减去(-1)n乘式(7.1.16)，得 (4) 诺伊曼函数Nn(x)与贝塞尔函数Jn(x)线性无关 为了证明这一点，只要考查x=0时两者的取值即可．由式(7.1.10) 诺伊曼函数在x=0点是无界的 将式(7.1.10)和式(7. 1. 11)代入式(7. 1. 14)，经过繁杂的计算可得 ?当x→0时，无论n是否为零，Nn(x)都是无界的 (5) 结论． 当v不为整数和零时，由Nn(x)的定义式可见，它是Jv(x)和J-v(x)的线性组合。 既然Jv(x)与J-v(x)线性无关，所以Nn(x)与Jv(x)也是线性无关的。 由此可见，无论v是否整数和零，贝