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* 数学教学中如何培养思维能力 一、注重思维过程的揭示和分析 数学课堂教学可以看作是有三个方面的思维活动： ⑴数学家的思维活动； ⑵数学教师的思维活动； ⑶学生的思维活动。 α l r （1）怎样用其它方法度量一个角的大小？ （2）能否用弧长度量角的大小？ （4）给弧度制下定义。 （5）怎样确定弧度制的单位？ 例如：弧度制的引入， （3）怎样求弧长呢？ 1、揭示知识发生发展的过程 斜率为k的直线与双曲线 (a＞0，b＞0)相交于A、B，线段AB 中点为M，过M作x轴的垂线，垂足恰为双曲线的焦点，若双曲线的离心率为e， 则k的取值范围是（ ） A．|k|＞ B．|k|＞e C．|k|＞ D．|k|＞e或|k|＜ F A B M y x O A B M b2x12－ a2y12＝a2b2 b2x22－ a2y22＝a2b2 错误解法： 2、揭示学生思维的过程 将y＝kx＋m代入 b2x2－ a2y2＝a2b2，得 （b2－a2k2）x2－2a2kmx－a2（m2＋b2）＝0． △＝4a4k2m2＋4（b2－a2k2）a2（m2＋b2）＞0， △＝4a4k2m2＋4（b2－a2k2）a2（m2＋b2）＞0， 即m2＋b2－a2k2＞0， ① 将①代入，得 （a2k2－b2）（a2k2－c2）＞0， ∴|k|＞e或|k|＜ 设A、B是双曲线 的两点，点N（1，2）是线段AB的中点， ⑴求直线AB的方程； ⑵如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？ ⑵ lAB：x-y+1=0，lCD：x+y-3=0， 设经过A、B、C、D四点的曲线系方程为： x2 - y2-1+λ（x-y+1）（x+y-3）=0， 即2（λ+1）x2 -（λ+1）y2-4λx+λy-6λ-2=0， 要使该曲线为圆，必须2λ+2= -λ-1， 此时，曲线系方程可化为：（x+3）2+（y-6）2=40，确为圆方程， 所以A、B、C、D共圆. 教学相长 二、突出数学知识的整体性和结构性 突出数学知识的整体性和结构性，就是要把发展和完善学生的数学认知结构作为数学教学的归宿和手段。 ? ? ? ? ? ? ? ? 几何问题 代数问题 某种几何关系 代数方程 代数计算 解析表示 翻译回去 x y O P Q l: Ax＋By＋C=0 R S A(x－ x0)＋B（y－ y 0）=－（ A x0 ＋ B y 0 ＋C ） P(x0, y0) 设M(x，y)为l: Ax＋By＋C=0上任意一点，则 问题转化为求|PM|的最小值。 （A2+B2）|PM|2＝ （A2+B2）[(x－ x0)2+(y－ y 0)2] ≥[A (x－ x0)＋B （y－ y 0）]2 ＝(Ax0＋By 0＋C）2 ∴|PM|2min＝ 当且仅当 三、把问题作为数学教学的出发点 2、问题是数学的心脏 1、数学是思维活动的教学，而思维由问题开始 3、数学问题的作用在于提供思维的动力 提出问题： 上一节课我们研究了“已知一个椭圆，如何建立它的方程”.现在研究这一问题的逆问题：“已知椭圆的方程，如何画出椭圆”，比如，已知椭圆方程为 ，如何画出它的图形呢？ ⑴ x是否可以任意取值，它有范围吗？y的取值范围如何？（引导学生考虑椭圆的范围）； ⑶ 研究曲线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置.椭圆上有哪些特殊点？（引导学生考虑椭圆的顶点）等等. ⑵ 求y的值时，要不要“±”都要考虑？（引导学生考虑椭圆的对称性）； ⑷ 紧接着，将所讨论的问题一般化，研究椭圆 （a＞b＞0）的几何性质. 合并同类项 问题1 求多项式－4x2y＋2 x2y－7 x2y的值，其中x = , y=－2. （1）能不能使解题过程简捷些？ （2）能不能使上面的解题过程再简化呢？ 得到思路：把x2y看成整体，即先计算x2y的值再代入 学生发现：－4x2y，2 x2y，－7 x2y中的字母部分完全相同， 不论x，y取什么样的值，不同项中的x，y都分别表示同一 个数，于是用□表示x2y，那么原式即为：－4□＋2□－7□ 因此根据乘法对于加法的分配律，可以化简为： （－4＋2－7）□＝－9□＝－9 x2y 然后再