概率课后习题解答.doc

习题一 3．设,,表示三个事件,用,,的运算关系表示下列各事件： （1）发生,与不发生; （2）与都发生,而不发生; （3）,,都发生; （4）,,都不发生; （5）,,中至少有一个发生; （6）,,中恰有一个发生; （7）,,中至少有两个发生; （8）,,中最多有一个发生. 解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）或． 6．一批产品共有件，其中有件废品，求： （1）任取件产品恰有件是废品的概率; （2）任取件产品没有废品的概率; （3）任取件产品中废品不少于件的概率. 解：设事件表示“取出的件产品中恰有件废品”，由概率的古典定义得 （1）； （2）； （3）． 9．已知,,，求和． 解：, . 10．已知,,求． 解：. 13．一盒里有个电子元件,其中有个正品,个次品.从中每次抽取一个,不放回地连续抽取四次,求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率． 解：设事件表示“第次取得次品”（），则所求的概率为 . 19．三人独立地去破译一个密码,他们能够译出的概率分别是,,,问能将密码译出的概率是多少? 解：设事件分别表示“第一人，第二人，第三人破译出密码”，显然事件相互独立，且，则所求的概率为 . 20．加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是,,和.假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率. 解：设事件表示“第道工序加工出次品”，显然事件相互独立，且，则所求的概率为 22．设一系统由三个元件联结而成（如图）,各个元件独立地工作,且每个元件能正常工作的概率均为().求系统能正常工作的概率. 图 解：设事件表示“第个元件正常工作”，事件表示“该系统正常工作”，显然，事件相互独立，且，则所求的概率为 . 习题二 2.离散型随机变量的概率函数为： （1） （2） 分别求（1）、（2）中的值． 解：（1），解得； （2），解得． 3.对某一目标进行射击，直到击中为止，若每次射击命中率为，求射击次数的概率分布． 解：设随机变量表示“击中目标时的射击次数”，显然，可取，故的概率分布为： 4.一大楼装有5个同类型的供水设备．调查表明在任一时刻，每个设备被使用的概率为0.1，且各个设备的使用是相互独立的．求在同一时刻被使用的设备数的概率分布，并求在同一时刻： （1）恰有2个设备被使用的概率； （2）至少有3个设备被使用的概率； （3）最多有3个设备被使用的概率； （4）至少有1个设备被使用的概率． 解：设随机变量表示“在同一时刻被使用的设备数”，显然，，其中，故的概率分布为 . （1）恰有2个设备被使用的概率为 . （2）至少有3个设备被使用的概率为 . （3）最多有3个设备被使用的概率为 . （4）至少有1个设备被使用的概率为 . 9.设随机变量的概率密度为 求的分布函数． 解：随机变量的分布函数为 10.设的分布函数为 求：（1）系数；（2）的概率密度；（3）概率. 解：（1）由于是连续函数，有，而 ，，故； （2） （3）． 13.随机变量的分布函数为 求(1)的概率密度；(2). 解：(1)对于连续型随机变量，有，所以 (2) . 14.某种电子元件的使用寿命（单位：h）的概率密度为 求在150h内： （1）3个电子元件中没有1个损坏的概率； （2）3个电子元件中只有1个损坏的概率； （3）3个电子元件全损坏的概率. 解：设随机变量表示“在150h内，3个电子元件中损坏的元件数”，显然，，其中， （1）3个电子元件中没有1个损坏的概率为：； （2）3个电子元件中只有1个损坏的概率为：； （3）3个电子元件全损坏的概率为：． 16.已知随机变量只能取－1，0，2，3四个值，相应的概率依次为，确定常数. 解 由，得C=. 16.一个袋内装有5个白球，3个红球．第一次从袋内任意取一个球，不放回，第二次又从袋内任意取两个球，表示第次取到的白球数（）．求（1）的联合概率分布；（2），． 解：（1）依题可知，随机变量可取，随机变量可取，而 （） 则的联合概率分布，与的边缘概率分布分别为 0 1 2 0 1 1 （2）, . 袋中装有标上号码1，2，2的3 个球，从中任取一个并且不放回，然后再从袋中任取一球，以分别记为第一、二次取到球上的号码数，求的联合分布． 解： 1 2 1 0 2 18.设二维随机变量的联合概率密度为 求：（1）常数；（2）；（3）；（4）. 解：（1）由于，有 ，解得； （2） ； （3） ； （4） ． 22.投掷一枚硬币直至正面出现为止，引入随