概率论与数理统计课件04B 重要分布.ppt

第四章：重要分布Ⅰ 1. 二项分布的实际背景和数学模型及其数字特征。 2. 超几何分布的实际背景和数学模型及其数字特征。 3. 能够用二项分布把实际问题模型化，并进行相关计算与讨论。 在第一章介绍过独立试验概型 作n次相互独立的试验, 每次试验事件A出现的概率为p, 不出现的概率为q=1-p, n次试验中事件A出现的次数x为一离散型随机变量,则有 1.二项分布 其中0p1, q=1-p, 则称x服从参数为n,p的二项分布. 简记作x~B(n,p). 在这里P{x=k}的值恰好是二项式(q+px)n展开式中第k+1项xk的系数. 如果x~B(n,p), 则x可看作是由n个取1概率为p的相互独立的0-1分布的随机变量xi,i=1,2,...,n的和, 即 x=x1+x2+...+xn x的分布函数为 某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4, 求最近6天内用水量正常的天数的分布. 其分布表如下表所示 10部机器各自独立工作, 因修理调整的原因, 每部机器停车的概率为0.2. 求同时停车数目x的分布. 概率分布图如下图所示 使概率P{x=k}取最大值的k0称为二项分布的最可能值, 如图示意 由上图可知 P(x=k0)?P(x=k0+1) 且P(x=k0)?P(x=k0-1) 二项分布的最可能值 一批产品的废品率p=0.03, 进行20次重复抽样(每次抽一个, 观察后放回去再抽下一个), 求出现废品的频率为0.1的概率. 一些例子 (1)如果是反复地掷硬币试验掷了100次, 则x~B(100, 0.5), 最可能值是 (2)k0=[100?0.5+0.5]=[50+0.5]=50 (3)如果x~B(1000,0.3), 则最可能值是 (4)k0=[1000?0.3+0.3]=300 (5)在实际应用中, np+p正好是整数的情况几乎不存在,但也不排出特殊情况的可能. 某批产品有80%的一等品, 对它们进行重复抽样检验, 共取出4个样品, 求其中一等品数x的最可能值k0, 并用贝努里公式验证. 解: x~B(4, 0.8), 因np+p=4?0.8+0.8=4是整数, 所以k0=4和k0=3时P{x=k}为最大, 即3和4为最可能值. 一般说来, 在n很大时,有不等式 超几何分布: 解： x可取0,1,2,3,4,5这5个值, 相应概率为: 概率分布表为: 定义: 设N个元素分为两类, 有N1个元素属于第一类, N2个元素属于第二类(N1+N2=N). 从中按不重复抽样取n个, 令x表示这n个中第一(或二)类元素的个数, 则x的分布称为超几何分布. 其概率函数为: 根据概率分布的性质, 必有 和二项分布相比, 二项分布是有放回抽样, 而超几何分布是不放回抽样. 当在不放回抽样时, 超几何分布中的N1/N相当于二项分布中的参数p, N2/N相当于二项分布中的q=1-p. 超几何分布也可以和二项分布一样看作是n个0-1分布的随机变量xi的和, i=1,2,...,n, xi表示第i次抽样抽到第一类元素的事件的次数, 根据抽签原理P(xi=1)=N1/N, 但如果i?j, xi与xj相互之间是不独立的. 超几何分布的数学期望 因为x可看作n个相互并不独立但仍然服从同样的0-1分布的随机变量x1,x2,...,xn的和, 即 x=x1+x2+...+xn, 其中 因xi服从0-1分布, 则xi2也服从同样的0-1分布, 则Exi2=N1/N, 当i?j时, xixj也服从0-1分布, 因此 也可以直接用定义来计算Ex和Dx 计算Dx必须要先计算E{x(x-1)} 因此 在实际应用中 (1)元素的个数N是相当大的, 例如, 从中国人民中任抽几千个人观察, 从一个工厂的几十万件产品中任抽几千件观察, 等等. (2)而在N非常大的情况下, 放回抽样和不放回抽样的结果几乎是相同的. (3)因此有, 当N很大的时候, 超几何分布可用二项分布来近似. (4)或者换句话说, 当N趋于无穷时, 超几何分布的极限是二项分布. 为证明这一点, 首先给出一个近似公式 因此, 如果x服从超几何分布, 则当抽样数n保持不变且远小于样本数N即也小于N1和N2时 一大批种子的发芽率为90%, 今从中任取10粒, 求播种后, (1) 恰有8粒发芽的概率; (2) 不少于8粒发芽的概率. * 如假设第i次试验时事件A发生的次数为随机变量xi, 则xi服从0-1分布,即 P{xi=1}=p, P{xi=0}=q=1-p, (i=1,2,...,n) 因此有x=x1+x2+...+xn 如果随机变量x有概率函数: 1.二项分布 解: 设最近6天内用水量保持正常的天数为