子空间理论.ppt

* §9.5 子空间 * §2 标准正交基　　　 §3 同构 §4 正交变换 §1 定义与基本性质 §6 对称矩阵的标准形 §8酉空间介绍 §7 向量到子空间的 　 距离─最小二乘法 小结与习题 第九章 欧氏空间 §5 子空间 一、正交子空间 　　§9.5 子空间 二、子空间的正交补 一、欧氏空间中的正交子空间 1．定义： 1) 　与 是欧氏空间V中的两个子空间，如果对 则称子空间 与 为正交的，记作 　则称向量　与子空间 　正交，记作 恒有 2) 对给定向量 　 如果对 　　恒有 注： ① 　　当且仅当 　中每个向量都与 　正交． ② ③ 当 　　且 　　时，必有 证明：设子空间 　　　两两正交， 2．两两正交的子空间的和必是直和． 要证明 中零向量分解式唯一． 只须证： 设 　　　 　　 由内积的正定性，可知 二、子空间的正交补 1．定义： 如果欧氏空间V的子空间 　 满足　　　　并且 则称 　为 　的正交补. 2． 维欧氏空间V的每个子空间 　都有唯一正交补. 证明：当 时，V就是 的唯一正交补． 当 　 时， 　也是有限维欧氏空间. 取 的一组正交基 由定理1，它可扩充成V的一组正交基 记子空间 显然, 又对 即 为 的正交补.