2008下半年线性代数.doc

行列式 1、二阶行列式= 三阶行列式（用对角线法来记忆）== 特别 2、余子式：是在中划去第i行和第j列，剩下的元素按原来相对顺序排成的n-1阶行列式 代数余子式 将n阶行列式按第一列展开 即 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 例题参见P9例2 注：将行列式按某行或某列展开时，尽量选择含零元素多的行或列使计算量减小 3、行列式的性质 性质1：行列式与它的转置行列式相等 即 转置行列式定义参见P11 性质2：用数k乘行列式D的某一行（或列）的所有元素所得到行列式等于kD，即行列式可以按行和按列提出公因数 如 性质3：互换行列式的任意两行（列），行列式值改变符号 推证：如果行列式中两行（列）相同，则此行列式值为零 性质4：如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零 性质5：行列式可以按行（列）拆开，即 性质6：把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素，所得行列式仍为D 应用证明的充要条件是k=1或k=2 证明：因为 4、行列式的计算 两种基本方法： ①把原行列式化为上三角（下三角）行列式再求值 ②把原行列式利用性质6在某一行（列）产生很多个“0”元素，再按包含0最多的行（列）展开 范德蒙行列式P22 5、克拉默法则 只适用于方程个数与未知量个数相同的方程组 如果n个方程的一元线性方程组的系数行列式，则此方程组必有唯一解 例1 求解 齐次线性方程组：当n元线性方程组中的常数项 齐次线性方程组（1.15）的系数行列式，则它只有零解 齐次线性方程组（1.15）的系数行列式D=0，则它有非零解 应用：当k为何值时只有零解 解：系数行列式第一章课后习题详解 §1.1 P8 1.求出以下行列式的值 （1） （2） （3） （4） （5） （6）思路同（5） （2） 习题1、2 2、解：将D按第三列展开 3、求行列式的值 习题1.3 习题1.4 1、见参考答案 第二章 矩阵 一、矩阵的定义：参见课本P33 几种常用的特殊方阵 二、矩阵的运算 1、矩阵的相等 当矩阵A与矩阵B的行数相同，列数相同，并且相同位置的元素也相同，则称A=B 2、矩阵的加减法 当A和B的行数与列数分别相等时，它们才能相加减，称这样的两个矩阵为同型矩阵。 同型矩阵相加减：相同位置元素相加减 负矩阵：A的负矩阵为-A，即矩阵A中的每一个元素取它的相反数 满足的运算律：（1）A+B=B+A (2)(A+B)+C=A+(B+C) (3)A+0=0+A (4)A+B=A+CB=C 3、数乘运算：任意数k乘以任意矩阵A 等于这个数乘以矩阵的每一个元素 运算律：（1）（kl） 但BA不能相乘 运算律：结合律（AB））kB)=(kA)B 一般情况下，矩阵乘法不满足交换律即AB≠BA 当AB=BA时，我们称A与B可交换，此A、B是同阶方阵 如求所有与A可交换的矩阵 因为A是二阶方阵 所以它的可变换矩阵也是二阶方阵 详解见P40 5、方阵的幂 6、矩阵的转置：将矩阵的行与列互换得到的nm矩阵成为A的转置矩阵 转置的运算律： 当A为n阶方阵 满足称A为对称矩阵； =-A称为A反对称矩阵 7、方阵的行列式： 8、方阵多项式 如例20 见书P46 三、方阵的逆矩阵 1、定义：设A是一个n阶方阵，若存在一个n阶方阵B使 称A是可逆矩阵 B叫A的逆矩阵 注意：（1）可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的 （2） 2、如何判断一个方阵A是否可逆？方阵A是可逆矩阵 3、如何求一个可逆矩阵的逆矩阵？ 可逆矩阵的基本性质：设A、B为同阶可逆矩阵k≠0 则 （1） (2)AB为可逆矩阵 (3)kA为可逆矩阵 （4） 应用参见P51-P52 设A是三阶矩阵，，求的值 四、分块矩阵 定义参见P54 1、分块矩阵的加法 把m*n矩阵做同样的分块 2、数乘分块矩阵 3、分块矩阵的转置 4、分块矩阵的乘法 参见P57 应用例4 5、分块矩阵的求逆 特殊分块矩阵求逆公式: (1)AD是任意两个可逆矩阵时有 (2) 五、矩阵的初等变换与初等方阵 1、矩阵的初等变换 定义：对一个矩阵施行一下三类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为矩阵的初等变换 交换A的某两行（列） 用一个非零的数k乘A的某一行（列） 把A中的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上 用“→”连接前后变换的矩阵 若A矩阵经过若干次初等变换得到矩阵B，则称A与B等价，记做A≌B 性质：（1）反身性A≌A