有限元基础第五章 线性三角形单元.ppt

* * 刚度矩阵 (2) K的每一行或每一列元素之和为零 以上式中第i行为例: f2i-1 =0 f2i =0 f2j-1=0 f2j=0 f2m-1 =0 f2m =0 i j m x y i j m 1 1 当所有节点沿x向或y向都产生单位位移时，单元作平动运动，无应变，也无应力，因而单元结点力为零（不含初应力）。 所以有 即，K的每一行元素之和为零。由于对称性，每一列元素之和也为零。 * * 刚度矩阵 (3) 系统刚度矩阵是奇异矩阵（ 即K的行列式为零） (4) 系统刚度矩阵是常量矩阵 系统的节点力和节点位移成线性关系是基于弹性理论的结果。 刚度矩阵是在系统处于平衡状态的前提下得出的。作用在它上面的外力必定是平衡力系。然而，研究系统平衡时没有引入约束。承受平衡力系作用的无约束系统，其变形是确定的，但位移不是确定的。所以出现性质（2）中的“平动问题”，即可以发生任意的刚体运动。从数学上讲，系统平衡方程的解不是唯一的或不能确定的。由此，系统刚度矩阵一定是奇异的。单元刚度矩阵也一定是奇异的。 * * 位移边界条件的处理 系统刚度矩阵是奇异矩阵，其物理原因是结构缺少刚性位移的约束，实际的工程结构都受有足够的支承约束，排除了发生任何刚体位移的可能性，因此，必须引入位移约束。 有限元中，位移约束都设置在节点处。这里，只讨论刚性约束情况，即被约束的位移分量为零。 设讨论的结构有Nn个节点，每个节点有ndf个自由度。则系统的总自由度为Ns，且 节点总位移列向量d中共包含Ns个分量 * * 为了引入位移约束，把节点总位移列向量d分成两部分。一部分是不受约束的位移分量，记为df。另一部分是受刚性约束的位移分量，记为dr。 不失一般性，设1～N号位移分量是不受约束的；N+1～N+Nr共Nr个分量是受刚性约束的。 即： 位移边界条件的处理 * * 位移边界条件的处理 显然 不受约束的节点位移的总数N为 N=Ns-Nr 对方程中的刚度矩阵K和节点荷载向量列阵f也作相应分割，则得到 式中，ff是已知力边界，fr是约束反力。 * * 位移边界条件的处理 按矩阵乘法规则得 每个受刚性支承约束的位移分量都等于零，即 从而得到 * * 位移边界条件的处理 Kff —— 引入约束后的约化的系统刚度矩阵。 这是一个非奇异 矩阵，它的逆矩阵Kff-1是存在的。 引入约束后的约化的系统平衡方程 在分析计算时，从无约束的系统刚度矩阵K中删去与受约束位移号对应的行和列，再将矩阵压缩排列成N×N阶方阵，即为约化后的结构刚度矩阵。 * * 位移边界条件的处理 0 0 0 1 0 置一法 显然 * * 位移边界条件的处理 乘大数法 显然 * * 节点位移和约束反力 通过求解平衡方程即可解出全部未知的节点位移： 约束反力 把解出的d代入未经修改的平衡方程，即可得到约束反力： 关于上述方程的解算方法，一般不采用求逆的方法求解，而是直接采用高斯消元法等求解线性方程组的方法求解求解。 施加边界条件后，得到修改后的平衡方程 (未约化的) (约化的) 或 节点位移 或 * * 单元应变和应力 根据三角形节点的位移，求出单元应力应变为 i j k 如何求系统应变能和节点应力？ * * 有限元解的收敛性 由于在有限元计算中引入了结构离散和位移模式，导致有限元计算结果和真实解的偏差。单元划分越小、位移模式取得越接近真实变形，解答越收敛于真实解。 当单元的位移模式采用解析的位移解时，有限元的计算结果和解析结果是相同的。然而，许多情况无真实的位移模式可以借用，只能寻求其近似函数，不可避免带来计算精度问题。实践证明：只要位移模式满足单元的完备性准则和协调性条件，就保证了有限元的解答收敛于真实解。 系统表现过刚 * * 有限元计算过程框图 剖分结构为有限个单元，对节点、单元编号 构建单元刚度矩阵和单元等价节点力向量 组装系统刚度矩阵并引入约束 组装整体等价节点荷载向量 从节点平衡方程解未知节点位移 计算结构应变、应力 * * 解综合方程 Kd=f 得结构节点位移d 从d中找单元位移de 用公式ε=Bde和 σ =Dε，计算应力应变 把单元刚度矩阵组装成系统刚度矩阵K 离散结构为若干单元 建立单元刚度矩阵Ke 形成等 价节点 荷载f 形成单元等价节点力 有限元计算流程图 * * 关于三角形单元形函数的一点补充 ? 2-3-P: 同样, ? 3-1-P A2 ? 1-2-P A3 面积坐标 面积坐标的定义 在三角形内任意一点P定义 * * 关于三角形单元形函数的一点补充 面积坐标与形函数的关系 面积坐标与直角坐标的关系 * 考虑一个平面应力问题如图