梅涅劳斯定理和塞瓦定理.pptVIP

几何 自公元前2世纪以来，古希腊数学家欧几里得的《几何原本》问世以来，平面几何作为数学的一个重要分支而存在于世。在历史上，《几何原本》的问世奠定了数学科学的基础，平面几何提车的问题，诱发了一个又一个重要的数学概念和有利的数学方法。由于平面几何有其鲜明的直觉与严谨、精确而简明的语言，并且经常出现一些极具挑战性的问题。因而这一古老的数学分支一直保持着青春的活力。 证明定理 过点A作AG∥BC交DF的延长线于G, 　　则AF/FB=AG/BD , CE/EA=DC/AG。 　　三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1 过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 过ABC三点向三边引垂线AABBCC， 　　所以AD：DB=AA：BB，BE：EC=BB：CC，CF：FA=CC：AA 　　所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 连接BF。 　　（AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA) 　　=（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF） 　　=（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF） 　　=1 　　此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆： 　　在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=1。　 　　第一角元形式的梅涅劳斯定理 如图：若E，F，D三点共线，则 　　(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1 　　即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积 　　该形式的梅涅劳斯定理也很实用 　　第二角元形式的梅涅劳斯定理 　　在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合) 梅涅劳斯定理的数学意义 　　使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理 实际应用 为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。 　　我们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须“游历”了所有的景点。只“路过”而不停留观赏的景点，不能算是“游历”。 　　例如直升机降落在A点，我们从A点出发，“游历”了其它五个字母所代表的景点后，最终还要回到出发点A。 　　另外还有一个要求，就是同一直线上的三个景点，必须连续游过之后，才能变更到其它直线上的景点。 从A点出发的旅游方案共有四种，下面逐一说明： 　　方案 ① ——从A经过B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后经过B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后从E经过C（不停留）回到出发点A。 　　按照这个方案，可以写出关系式： 　　（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。 　　现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。 　　从A点出发的旅游方案还有： 　　方案 ② ——可以简记为：A→B→F→D→E→C→A，由此可写出以下公式： 　　（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。从A出发还可以向“C”方向走，于是有： 　　方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可写出公式： 　 　（AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 从A出发还有最后一个方案： 　　方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此写出公式： 　　（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。 　　我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落，因此就有了图中的另外一些公式。 　　值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅劳斯定理”中的三项。