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泰勒多项式逼近 泰勒多项式逼近 * * 第六节 泰勒(Taylor)公式 一、问题的提出 三、几种常用的Maclaurin公式 四、简单的应用 五、作业 练习 二、Taylor公式 一、问题的提出 1、关于多项式 由于它本身的运算仅是 多项式 是最 简单的一类初等函数. 所以在数值计算方面， 多项式是人们乐于使用的工具. 有限项加减法和乘法， 因此我们经常用多项式来近似表达函数. 初等数学已经了解到一些函数如 : 2、近似计算 的一些重要性质，但是初等数学不曾回答怎样 来计算它们？ 些结果提供了近似计算这些函数的有力方法. 以 的近似计算为例. 高等数学微分学中所研究出来一 线性逼近优点:形式简单，计算方便； 一次(线性)逼近 利用微分近似计算公式 的线性逼近为: 不足：离原点0越远，近似度越差. ，对 附近的 , 1 y=1 y x -1 二次逼近 期望： 二次多项式 逼近 它要比线性逼近好得多，但局限于 内. 二次逼近为 , 可以看出， y=1 y x 1 -1 八次逼近 八次多项式 逼近 y=1 y x 1 -1 比 在更大的范围 内更接近余弦函数. 想法：对于精确度要求较高时候?可以用高次多项式来近似表达函数. 问：要找的多项式应满足什么条件？ 从几何上看， 代表两条曲线， 要使它们在x0附近与很靠近， 很明显 ①首先要求两曲线在 相交, ②要靠得更近还要求两曲线在 相切, ③要靠得更近还要求两曲线在 弯曲方向相同, 因为弯曲程度要用切线的变化率--------二阶导数来刻画. 进而可推想：若在 附近有 近似程度越来越好 所以要找的多项式应满足下列条件 问题归结为：给定一个函数f (x)，要找一个在指定点 x0 附近与f (x)很近似的多项式函数Pn (x)， 记为 使得 且误差 可估计。 为了在性质上吻合的更好，我们要求: 下面来求多项式Pn(x)的表达式(即系数ai)和误差表达式. 泰勒(Taylor)多项式 故 定理（Taylor中值定理）： Pn(x) 思路： 证毕! 在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为 上式称为具有佩亚诺型余项的 n 阶泰勒公式. (5)在公式中， 从而泰勒公式变成如下形式， 称为带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式 三、几个常用的Maclaurin公式 例1、 四、应用 1、近似计算 例2、 例3、求极限。 2、求极限 已知 解: 令 x = 1 , 得 由于 欲使 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 的麦克劳林公式为 例2、 解 因为分式函数的分母是sinx2 ，我们只需将分子中 的cosx与ln(1+x)分别用二阶的麦克劳林公式表示： 和仍记为 ，就得： 对上式作运算时把所有比 高阶的无穷小的代数 故 解