第一章函数和极限.pptVIP

三、函数的特性 四、反函数 小结: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 例6 解 先变形再求极限. 1.4.3 两个重要极限准则 1.夹逼准则 一、极限存在定理 ） （ ） （ 准则 Ⅰ和准则 Ⅰ称为夹逼准则. 注意: 夹逼定理示意图 例1 解 由夹逼定理得 2.单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释: 例2 证 (舍去) 二、两个重要极限 (1) 首先注意到 设法构造一个“夹逼不等式”，使函数 在x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个 函数 g(x), h(x) 之间，以便应用准则Ⅰ 例2 证明 证 于是 恒有 3.单侧极限: 例如, 左极限 右极限 例 证 左右极限存在但不相等, 函数极限的性质 1.局部有界性 2.唯一性 3.保号性 三、 无穷小量与无穷大量 在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义。 1、无穷小 极限为零的变量称为无穷小. 例如, 注意 1.称函数为无穷小，必须指明自变量的 变化过程； 2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 3.零是可以作为无穷小的唯一的数. 无穷小与函数极限的关系: 证 必要性 充分性 意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 2、无穷小的比较与阶 无穷小的比较 例如, 观察各极限 不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 定义: 常用等价无穷小: 注 上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握 用等价无穷小可给出函数的近似表达式: 一般地有 即α与β等价 α与β互为主要部分 例如, 等价无穷小替换 定理(等价无穷小替换定理) 证 意义 求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。 例3 解 注意 不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换. 例4 解 错 解 例5 解 3、无穷大 极限值无限增大的变量称为无穷大. 特殊情形：正无穷大，负无穷大． 注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 无穷小与无穷大的关系 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. 一、函数极限的四则运算 定理 1.4 函数极限的运算 证 由无穷小运算法则,得 推论1 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 ⑤定理的条件： 存在 商的情形还须加上分母的极限不为0 ⑥定理简言之即是：和、差、积、商的极限 等于极限的和、差、积、商 ⑦定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对 任何一个过程都成立 求极限方法举例 例1 解 小结: 例2 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得 例3 解 (消去零因子法) 例4 (根式有理化法) 例5 解 (无穷小因子分出法) 一、数列的极限 数列的定义 例如 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 1. 唯一性 定理1 每个收敛的数列只有一个极限. [分析] 直接证明较困难，采用反证法 由数列极限的几何意义， 在a的任一ε邻域内聚集着xn中的无穷多个点，而在该邻域之外至多有xn中的有限个点 数列极限的性质 证 用反证法 a ≠b 不妨设a ＜ b 矛盾，这说明结论成立 2.有界性 例如, 有界 无界 定理2 收敛的数列必定有界. 证 由定义, 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 二、 函数的极限 关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况： 一、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势， 二、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势 1、自变量趋向无穷大时函数的极限 播放 返回 通过上面演示实验的观察: 问题: 如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限接近”. 2.另两种情形: 3.几何解释: 2、自变量趋向有限值时函数的极限 先看一个例子 这个函数虽在x