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线性代数是最有趣最有价值的 大学数学课程 ----David C. Lay 广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学，生物学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理，系统控制，通信，航空等学科和领域。 应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、材料力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理、机械振动、机器人学等课程。 线性方程组的应用 现代飞行器外形设计例 把飞行器的外形分成若干大的部件，每个部件沿着其表面又用三维的细网格划分出许多立方体，这些立方体包括了机身表面以及此表面内外的空气。对每个立方体列写出空气动力学方程，其中包括了与它相邻的立方体的共同边界变量，这些方程通常都已经简化为线性方程。对一个飞行器，小立方体的数目可以多达400,000个，而要解的联立方程可能多达2,000,000个。  向量组的线性相关性的应用 Matlab代码 u1=[10;12;5;7;0;25;9;6;8]; u2=[2;0;3;9;1;5;4;5;2]; u3=[14;12;11;25;2;35;17;16;12]; u4=[12;25;0;5;25;5;25;10;0]; u5=[20;35;5;15;5;35;2;10;0]; u6=[38;60;14;47;33;55;39;35;6]; u7=[100;55;0;35;6;50;25;10;20]; U=[u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7] [U0,r]=rref(U) 计算结果为 二次型的应用 可逆矩阵的应用 矩阵对角化的应用 人口迁徙问题 设在一个大城市中的总人口是固定的。 人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变 化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的 郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市 区，70%的居民住在郊区，问10年后市区和郊区的居 民人口比例是多少？30年、50年后又如何？ 分析与求解 这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区 和郊区两个分量表示，设市区和郊区初始人口数量分 别为：xc0=0.3，xs0=0.7，一年以后， 市区人口为 xc1? (1?0.06) xc0?0.02xs0， 郊区人口 xs1? 0.06xc0 ? (1?0.02)xs0 用矩阵乘法来描述，可写成： 建立模型并用MATLAB求解 从初始到k年，此关系保持不变，因此上述算式 可写为 输入：A?[0.94,0.02;0.06,0.98], x0?[0.3;0.7] x1?A*x0, x10?A^10*x0, x30?A^30*x0, x50?A^50*x0 得到： 人口分布趋势分析 无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。 为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值。先求A的特征值和特征向量，得到 将A对角化 人口分布的趋势 式中的第二项会随着k的增大趋向于零。如果只取小数点后两位，则只要k?27，这第二项就可以忽略不计，从而得到 。 THANKS 进而推得 即n年之后从事各业人员的人数完全由An决定。事实上， 运用实对称矩阵的正交对角化方法，可以轻松求得An。 Y公司的联合收入为 y=137309.64(元) 实际收入为 0.2*137309.64=27461.93(元) Z公司的联合收入为 z=186548.22(元) 实际收入为 0.3*186548.22=55964.47(元) 于是X公司的联合收入为 X=309390.86(元) 实际收入为 0.7*309390.86=216573.60（元） 药方配制问题 通过中成药药方配制问题，理解向量组的线性相关性、最大线性无关组向量的线性表示以及向量空间等线性代数的知识。 问题：某中药厂用9种中草药A-I，根据不同的 比例配制成了7种特效药，各用量成分见表1（单位：克）。 20 6 2 0 12 2 8 I 10 35 10 10 16 5 6 H 25 39 2 25 17 4 9 G 50 55 35 5 35 5 25 F 6 33 5 25 2 1 0 E 35 47 15 5 25 9 7 D 0 14