线性代数—二次型和对称矩阵的有定性.pptVIP

第三节 练习： END 选用例题 * 一、正定二次型正定矩阵 定义 由定义，可得以下结论： 充分性是显然的；下面用反证法证必要性： 代入二次型，得 由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只要通过非退化线性变换，将其化为标准形，就容易由以下定理判别其正定性。 定理 推论 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值 全为正。 ? 正定矩阵。 这是因为： 解 例1 判别二次型 是否正定。 二次型对应的矩阵为 全为正， 因此二次型正定。 定理 设矩阵A正定，则 （1）A的主对角元全为正； 证明 上述定理是A正定的必要条件，但不是充分条件。 定理 解 例2 判别二次型 是否正定。 二次型对应的矩阵为 它的顺序主子式为： 因此 A是正定的， 即二次型 f 正定。 解 例3 设有实二次型 问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？ f 的矩阵为 顺序主子式为： 解得 ? 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵C，使得 实际上，正定二次型的规范形为 即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E ， 即存在可逆矩阵C ，使 ? 证 因为 于是 2、其它有定二次型 定义 如果二次型不是有定的，就称为不定二次型。 显然，A是负定（半负定 ）的当且仅当-A是正定（半正定）的。由此，容易得出以下结论： （2）A负定的充分必要条件是A的特征值全负； （3）A半负定的充分必要条件是A的特征值非正； （4）A负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子式全为负而偶数阶顺序主子式全为正； （1）A半正定的充分必要条件是A的特征值非负； （5）若A负定，则A的对角元全为负。 注意: 1.最后一条只是必要条件。 2.A的顺序主子式全非负， A也未必是半正定的。 例如，设矩阵 显然A的顺序主子式 但对角元有正有负，显然A是不定的。 例5 判定下列二次型是否是有定二次型。 解 （1）f 的矩阵为 顺序主子式 所以 f 是负定的。 例5 判定下列二次型是否是有定二次型。 解 （2）f 的矩阵为 顺序主子式 所以 f 是不定的。 P222 习题五 * * *