线性代数特征值与特征向量.do.pptVIP

例5. 若A3?3的特征值为1, ?1, 2, 则|A| = ?2. A*的特征值为 注: A的化零多项式的根未必都是A的特征值. 例如f(x) = x2?1, A1 = 1 0 0 1 , A2 = ?1 0 0 ?1 , A3 = 0 1 1 0 . A*A? = ?A*? ? ? 0 ? |A|E? = |A|? = A*? = ??1|A|? ?2, 2, ?1. 第5章 特征值与特征向量 §5.1特征值与特征向量 分析 例 7 设A是3 阶方阵，E – A , E+A , 2E-A不可逆. A* 是A的伴随矩阵. f(x)=x2 +x +3.试求 f(A*)的迹和行列式. 第一步 求出A*的特征值； 第二步 求出f(A*)的特征值. (与课本例5.5步骤稍有不同) 第5章 特征值与特征向量 §5.1特征值与特征向量 解： 注：事实上，可以证明设?1, ?2, …,?n是方阵A的所有特征值, f 是一个多项式, 则f(?1), f(?2),…, f(?n)是方阵f(A)所有的一个特征值. 第5章 特征值与特征向量 第2节 相似矩阵 §5.2 相似矩阵 §5.2 相似矩阵 一. 相似矩阵的定义和性质 设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使得 B=P ?1AP , 则称矩阵A相似于B. 记为A~B. P称为相似变换矩阵. 易见, 矩阵间的相似关系满足 反身性: A~A; 对称性: A~B ? B~A; 传递性: A~B, B~C ? A~C. 即矩阵间的相似关系是一种等价关系. 第5章 特征值与特征向量 1. A~B ? A与B等价. 但反之未必. 注 2. A~B, 并且 A可逆 ? A-1 ~B-1 . 3. A~B, f是一个多项式 ? f(A)~ f(B). §5.2 相似矩阵 第5章 特征值与特征向量 命题: 设A~B, f是一个多项式, 则f(A)~ f(B). 证明: 设P ?1AP =B, f(x) = anxn+…+a1x+a0, 则 P ?1f(A)P = anP ?1AnP+…+a1p ?1AP+a0 P ?1EP = an(P ?1AP)n+…+a1P ?1AP+a0E = P ?1(anAn+…+a1A+a0E)P = anBn+…+a1B+a0E = f(B). §5.2 相似矩阵 第5章 特征值与特征向量 例1. 若先将n阶矩阵A的第i行第j行对换， 再将第i列第j列对换得到矩阵B，证明: A与B相似. A P(i, j) A P(i, j) A P(i, j)=B 注意： P(i, j)-1 = P(i, j) §5.2 相似矩阵 第5章 特征值与特征向量 定理5.2. 设n阶方阵A与B相似, 则有相同的特 征多项式.(从而有相同的特征值,迹和行列式.) 事实上, 设P –1AP = B, 则 |?E–A| = |P–1|·|P|·|?E–A| = |P–1|·|?E–A|·|P| = | P–1 (?E–A) P | = |?E–B|. §5.2 相似矩阵 第5章 特征值与特征向量 注: 特征多项式相同的矩阵未必相似?. 例如 A = 1 0 1 1 , B = 1 0 0 1 , 它们的特征多项式都是(??1)2. 但是若有P –1AP = B, 则A = PBP –1 = E. 矛盾! 上述反例也告诉我们，已知两个矩阵的特征值相同，或迹相同，或行列式相同，并不能得到它们是相似的. §5.2 相似矩阵 第5章 特征值与特征向量 问题1 若A和B都相似于同一个对角阵 ? A~B §5.2 相似矩阵 第5章 特征值与特征向量 问题2 若A相似于对角阵diag(1 -1 1), 则 A2= E . 问题3 若A相似于对角阵diag(1 1 1), 则 A= E . 计算 An . 如果存在可逆矩阵P使得 A=PDP-1，D是对角阵， 则 An=(PDP-1)n =PDP-1PDP-1... PDP-1 =PDnP-1 本章的任务 §5.2 相似矩阵 第5章 特征值与特征向量 二. 方阵与对角矩阵相似的充要条件 P= ( p1, p2, …, pn