一、背景资料一-------行列式.PDFVIP

前言 线性代数(linear algebra)是代数学的一个分支，它以研究向量空间与线性映 射 为 对 象 ； 由 于 法 国 数 学 家 费 马 (Fermat,1601 — 1665) 和 笛 卡 儿 (Descartes,1596—1665)的工作，线性代数基本上出现于 17 世纪。“代数”这一 词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到 1859 年，清代著名的数学家、翻译家李善兰（1811—1882）才将它翻译成为“代 数学”，一直沿用至今。 历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，最初的线性方程 组问题大都是来源于生活实践，正是实际应用问题刺激了线性代数这一学科的诞 生与发展。 一、背景资料一 行列式 行列式(determinant)出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达 式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。而行列式的概念最早则是由日本数 学家关孝和(Seki Takakazu,1642—1708）在 1683 年提出来的，他在一部叫做 《解伏题之法》的著作（意思是“解行列式问题的方法”）里，对行列式的概念和 它的展开已经有了清楚的叙述，欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家、微 积分学奠基人之一莱布尼兹(G.W.Leibnitz,1646—1716)，时间是在 1693 年 4 月，他在写给法国数学家洛必达 (L´Hospital,1661—1704)的一封信中使用并给 出了行列式，同时给出方程组的系数行列式为零的条件。 1750 年，瑞士数学家克莱姆(G.Cramer,1704—1752)在其著作《线性代数 分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给 出了由系数行列式来确定线性方程组解的重要基本公式（即人们熟悉的克莱姆法 则）。1764 年，法国数学家贝祖(Etienne Bezout,1730—1783)将确定行列式每 一项符号的方法进行了系统化。对给定了含 n 个未知量的 n 个齐次线性方程组， 他证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。 1 总之，在很长一段时间内，行列式知识作为解线性方程组的一种工具使用， 并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。在 行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理 论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙(A.T.Vandremonde,1735 —1796)，时间是 1772 年，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的 法则。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是行列式理论的奠基人。同一年， 法国数学家拉普拉斯(Laplace, Pierre-Simon,1749—1827)在《对积分和世界体 系的探讨》中，证明了范德蒙的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法，用 r 阶子式及其余子式来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。 1815 年，法国数学家柯西(A.L.Cauchy,1789—1857)首先提出行列式这个 名称，他在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理，其中 主要结果之一是行列式的乘法公式。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵， 采用双重足标标记法；改进并证明了拉普拉斯的行列式展开定理。1841 年，英国 数学家凯莱(A.Cayley,1821—1895)首先创用了行列式记号∣ ∣。 继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比 (Carl Gustav Jacobi,1804—1851)，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指 出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。 1841 年，雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的 建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面 的应用，促使行列式理论自身在 19 世纪也得到了很大发展。整个 19 世纪都有行 列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其 他定理相继得到。 二、背景资料二 矩阵 矩阵(matrix)是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对 象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”（该词来源于拉丁语，表示一