互成角度两个平面镜成像.doc

两个互成角度的平面镜成像规律的研究 一、 从教学中引出的问题及思考 题1：如图1，两平面镜M１、M２平行且两镜 Ｍ１ Ｍ２ 面相对，两镜间一物点S到M１距离3cm，到 M２距离7cm，求离S点最近的5个像的位置。 题2：如图2，两平面镜镜面的夹角为此60°， 两镜面间有一物点S，S一共可成几个像？ 上述两题，均可以通过作图法分析得出答案。 图1 但是，作图难免有误差，因此，作出像点的位置 就不很准确，甚至会使作图得到的成像个数与实 际不符，其次，两镜面所成夹角的大小有无数种 图２ 情况，不可能对每一角度都作图分析，特别是当 两镜面夹角很小时，所成像的个数很多，若采用 作图法更加困难，且不准确。 图2 如何通过计算式确定每一像点的位置，每一像点的位置及成像的个数与镜面夹角有何关系呢？对此问题，我查阅课本、教参书及其他有关资料，都找不到有关这一问题的论述。因此，我反复对这一问题进行实验和研究。 二、对两平面镜组合成像规律的研究 通过实验发现，当两镜面夹角θ在0°到180°间变化时，θ越大，像的个数越少。对此，我曾试图应用《平面几何》有关边角关系、利用《平面解析几何》知识，建立平面直角坐标系及两点间的距离公式、点到直线距离公式、两直线垂直关系求垂足坐标等方法来研究本问题，结 果都因为计算太繁杂，无法找出其规律，于是我改用《平面解析几何》中的极坐标知识来讨论，比较简便地得出其规律，下面介绍其推导过程。 设两平面镜M１、M２镜面夹角为θ（单位为度，本文所述角度均以度为单位，0°≤θ≤180°），两镜面间有一物点S，分别通过两镜面的直线相交于0点，且使这两直线及物点S也处于同一平面上，令OS ＝R，OS与M１的镜面夹角为α，建立如下极坐标系：以O点为极点，以通过M１的射线OM１为极轴（如图3），根据平面镜成像的特点，则物点S及各像点S1、S2、S3、S4、…….的极坐标标示如图（图中用奇数下标表示的像点S1、S3、S5、S7、……为通过平面镜M１所成的像点，用偶数下标表示的像点Ｓ2、Ｓ4、Ｓ6、Ｓ8、……为通过平面镜Ｍ２所成的像点）。 各像点的位置 由图可以看到，物点Ｓ和各像点Ｓ1、Ｓ2、Ｓ3、Ｓ4、……都在以Ｏ为圆心，半径为Ｒ的圆周上，各像点的位置可以用极坐标的极径和极角确定，各像点的极角如下表（表中ｎ＝3，7，11，15，……等奇数）。 且像点Ｓn与Ｓn-1的极角互为相反数。 像点 极角 像点 极角 Ｓ1 －α Ｓ2 ２θ－α Ｓ3 －（２θ－α） Ｓ4 ２θ＋α Ｓ5 －（２θ＋α） Ｓ6 ４θ－α Ｓ7 －（４θ－α） Ｓ8 ４θ＋α Ｓ9 －（４θ＋α） Ｓ10 ６θ－α 　　　Ｓn-1 Ｓn Ｓn+1 Ｓn+2 ２、成像的个数 由图３可以看到，∠Ｓ1ＯＳ2＝２θ，∠Ｓ3OS4＝４θ，∠Ｓ5ＯＳ6＝６θ，∠Ｓ7ＯＳ8＝８θ，∠Ｓ9ＯＳ10＝10θ，……，其余类推。因此可以得出：当两平面镜镜面夹角为θ°（0°≤θ≤180°）时，物点Ｓ经两平面镜所成的像的个数为 　　　 　　　　　ｍ＝2×360°÷2θ 即ｍ＝360÷θ 对上式，有几点必须说明： （1）.当m为偶数时，成像个数为m，但最后两个像重合于同一点，且在SO直线上，该点与O点距离等于OS，所以实际看到的像是（m－１）个。例如，当θ＝60°时，成６个像，而实际看到的像是５个（如图４）。 图4 图5 （２）．当ｍ为奇数时，成像个数与实际看到的像的个数都为ｍ。例如当θ＝７２°时，ｍ＝５，所成的像和实际看到的像都是５个（如图５）。 （３）．当ｍ为非整数时，成像个数与看到的像的个数一致，但可能是小于ｍ的最大整数，也可能是大于ｍ的最小整数（不能采用四舍五入的规则），这要根据物点的位置而定。例如，当θ＝50°时，ｍ＝7.2，即成像可能是７个也可能是８个，当α＝25°时，成８个像（如图６），当α＝10°时，成７个像（如图７）。 （４）．当θ＝０°时，Ｒ→∞，成像为无限多个。 （５）．当θ＝180°时，ｍ＝２，即成像为２个，实际看到的像是１个，相当于单块平面镜成像的情况。 当两镜面的夹角大于180°时， 当物点在两镜背面的夹角的对角范围 内时则成两个像（否则只是单个平面 镜成像），因为此时从物点发出的光 线经其中一平面镜反射后不能再射到 另一平面镜上(如图8)。