华东理工学概率论与数理统计课件第四章.ppt

例1. 互相独立随机变量序列，且  的分布 (k=1,2, …),试证大数定理成立. 例3. 独立同分布， 则是否满足辛钦大数定理？ 返回 大数定理： 　　讨论大量随机变量的算术平均值稳定性的一系列定理 中心极限定理： 　　讨论在什么条件下，大量随机变量之和的极限分布为正态分布的一系列定理 第4章 中心极限定理与大数定律 1.中心极限定理： 概率论中有关论证随机变量和的 极限分布是正态分布(Gauss)分布 的一系列定理。 意义:大量的独立同分布的随机变量之和的分布 可近似认为是正态分布. 这是数理统计中大样本问题研究的理论基础. 定理1 林德贝格-勒维定理(独立同分布中心极限定理) 设X1,X2,…,X n,…为独立同分布序列,期望μ,方差σ20,设 注 以上定理表明只要n比较大,就有近似结果: 例1 用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量,期望值为100克,标准差为10克,一箱内装200袋味精,求一箱味精净重大于20500克的概率? 解 设一箱净重为X,箱中第i袋味精净重为Xi,(i=1,2,…,200) 则 X1,X2,…,X200独立同分布, EXi=100, DXi=102=100,且 由中心极限定理得X近似服从正态分布, EX=200EXi=20000, DX=200DXi=20000, 所求为P(X20500)= 1-P(X≤20500) =0.0002 故一箱味精净重大于20500的概率为0.0002. 例2 一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重 量是随机的.假设每箱平均重50kg,标准差为5kg.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试用中心极限定理说明每车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.9772. 解 设Xi(i=1,2,…,n)为装运的第i箱的重量,n是所求的箱数.则 X1,X2,…,Xn独立同分布, EXi=50, DXi=52=25,令 由中心极限定理得 所以 即最多可以装98箱. 定理2 若随机变量μn～Ｂ(n,p)(n=1,2,…),则对任 意ab有 注 : (1) 定理称为棣莫佛-拉普拉斯定理. (2)它表示当n很大时,二项分布可用正态分布近似逼近: 即 若X~B(n,p),当n很大时,有近似结果X~N[np,np(1-p)]. 定理3 (泊松定理)二项概率的泊松近似 例3: 每颗子弹击中飞机的概率为0.01, 连发500发,求命中5发的概率. 例4 某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被 盗索赔户占20%,随机抽查100户,利用棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的近似值. 解 设X表示100户中被盗索赔户数,则 X~B(100,0.2) 由棣莫佛-拉普拉斯定理得： X近似服从正态分布, EX=np=20, DX=np(1-p)=16, 所以 X~N(20,16) 所求 P(14≤X≤30) =0.927 例5 某校有4900个学生，已知每天每个学生去阅览室自修的概率为0.1,问阅览室要准备多少座位，才能以99%的概率保证每个去阅览室自修的学生都有座位。 例6： 某厂有400台同类机器，每台发生故障的概率 为0.02，假如各台机器彼此独立，求最多2台 机器发生故障的概率。 解： 例7： 某车间有200台独立工作的车床，各台车床开 工的概率都是0.6，每台开工车床要耗电1千瓦， 问供电所至少要供给这个车间多少千瓦电力， 才能以99.9％的概率保证这个车间不会因供电 不足而影响生产。 解： 则 查表得 2. 大数定律 定义 设随机变量序列{Xn},如果存在一个常数列 ,使 得对任意的ε0，有 则称{Xn}服从大数定律. 　大数定理 切比雪夫大数定理 辛钦大数定理 伯努利大数定理 马尔可夫大数定理 泊松大数定理 定理4 (马尔可夫大数定律) 设{Xn}为独立随机变量序列,且有 则对任意的ε0 ,有 证: 定理5 (切比雪夫大数定律) 设 {Xn}是两两不相关随机变量序列,方差一致有界D(Xn)=σn2 C (n=1,2,...), 其中常数C与n无关,则对任意的ε0,有 证: 定理6 (泊松大数定律) 设每次试验中事件A发生 的概率为pk，n次重复独立试验中事件A发生的次 数为 ,事件的频率 ,则对任意ε0,有 证: 定理7 (伯努里利大数定律) 设每次试验中事件A发生的概率为p，n次重复独立试验中事件A发生的次数为 ，事件的频率有