浙江省杭州市高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数学案（无答案）新人教A版必修1.docVIP

2.3《幂函数》 课前阅读材料（幂函数的前世）：幂乃土生土长的数学概念，距今已有两千年左右的历史。幂的古体字是??冖，《说文解字》：“幂，覆也。从一下垂也。”它的繁体字是幂，原义是遮盖东西用的布，后来衍义为面积，刘歆用幂这个词表示面积。〈〈九章算术〉〉方田章刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂。”后来又广义为多次乘方的结果，如元代朱世杰〈〈算学启蒙〉〉总括：“自相乘之曰幂”。到了明清时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂。清末，李善兰翻译《代微积拾级》时，先将power译为方，后来改译为幂。从此就将一个数的若干次方的结果理解为幂。我们现在定义y=x?为幂函数，源于此。 一、“没有目标而学习，恰如没有罗盘而航行”： 1、通过生活实例引出幂函数的概念，学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。 2、学生能理解幂函数的概念，会画幂函数 的图象；学生能结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质。 3、学生通过观察，总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力，让学生进一步体会数形结合的思想； 二、课堂学习：（幂函数的今生） (1)、“温故而知新，可以为师矣”： 思考1：对于等式，我们知道： （1）如果a一定，则N 随着b的变化而变化，我们建立了指数函数 ； （2）如果a一定，则b随着N 的变化而变化，我们建立了对数函数； 那么，如果b一定，则N 随着a的变化而变化，是否也能确定一个函数呢？ （2）、“万丈高楼平地起”： 1、实例探究： 阅读下面的5个实例，填写完整。根据实例中的函数模型，你能总结出它们有什么共同特征吗？ 问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数 p = 元，这里p是w的函数. 问题2：如果如果正方形的桌面边长为a，那么该桌面的面积S = ，这里S是a的函数. 问题3：如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V = ，这里V是a的函数. 问题4：如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a = ，这里a是S的函数. 问题5：如果t 秒内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v = km/s，这里v是t的函数. 思考2：若将它们的自变量全部用x来表示，函数值用y来表示，则它们的函数关系式将是： 。 2、函数定义： 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。 思考：你能说出幂函数与指数函数的区别吗? 3、牛刀小试：判断下列函数是否为幂函数. 小结:对幂函数的几点认识： （3）、“有图有真相”：研究的情形 1、在同一平面直角坐标系中（用不同颜色的笔）画出函数，，，的图象 列表：  2、在同一平面直角坐标系中（用不同颜色的笔）画出函数，的图象 列表： 问题1： （1）、注意到以上所有的幂函数图像都不经过第四象限，并且都经过第一象限，你觉得这是偶然还是必然？ （2）、第二象限和第三象限的的图像是哪些函数的图像？你能总结出规律吗？ （3）、在第一象限内，哪些函数是增函数，哪些函数是减函数？你能总结出规律吗？ 问题2：观察幂函数的图象，并将发现的结论填写在下表内。 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 适当归纳性质: （4）、“过关斩将”： 1、幂函数的表达式： 例1、， 变式：已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，求m的值。 2、幂函数的单调性： 例2、证明幂函数在［0，+∞）上是增函数。 变式： 如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取 四个值，则相应图象依次为:________ （5）、反思总结： （1）、幂函数的定义； （2）、幂函数的性质； （3）、幂函数的简单应用。 （6）、“功在课堂，成在作业”： 《作业本》：2.3.幂函数 1 O x y O x y