(河北 素材)2017河北高三数学教学研究：“三角变换与解三角形”.docVIP

专题讲座 高中数学“三角变换与解三角形”教学研究 一、整体把握“三角变换与解三角形”的教学内容 （一）教学内容的知识框架 三角变换的知识框架为： 解三角形的知识框架为： （二）教学内容的结构与作用 从上述知识框架可知，三角变换与解三角形问题，常常可视为以若干（三角）公式为基础，解决简单的代数变换（求值、化简、证明等等）问题或实际问题。 从主要解决的问题来看，往往需要对可使用的三角公式有较强的识别、应用能力，所以，这部分数学内容是训练学生代数辨析与变形能力的良好素材。 从方程观点看，三角变换公式与正弦定理、余弦定理皆可视为关于公式、定理中包含的各变量的方程，因此，该部分知识内容也是方程思想的重要体现，对学生进一步理解、掌握方程思想有着相当重要的认知价值。 从函数观点来看，三角变换公式，可视为：如何用自变量 的三角函数值表示自变量的和与差 所对应的函数值的问题，因此，与三角函数的广泛应用相一致，三角变换的知识内容在数学学科内部与其他学科中也具有十分广泛的应用。 （三）教学内容的重点、难点分析 从教学内容来看，“三角变换与解三角形”的教学主要重点是： 诸多公式的推导与记忆。特别是基本公式（如：两角和与差的正弦、余弦公式，正弦、余弦定理）的推导方法，衍生公式（如倍角公式、半角公式、和差化积与积化和差公式）与基本公式的关系，常用公式（如和、差、倍公式）的准确记忆等等。 公式或重要数学模型的识别与应用。这部分数学内容所涉及的公式数量多，结构比较复杂，在具体问题中又往往遇到的是变换或变形后的公式，或是公式的一部分，我们在教学中的重要任务，就是通过不断引导学生从角、运算关系、系数变化等等特征观察已知条件与待求结论，识别可应用的公式，选择合适的办法解决问题。一些常见的问题类型，可抽象固化为重要的数学模型，形成具有可操作性的解题程序或解题策略，我们在教学过程中另一个重要任务，就是引导、帮助学生建立数学模型，形成解题程序与策略，并在后继解决问题过程中，提高识别这些数学模型的能力，准确、灵活地执行解题程序、应用解题策略的能力。 由上可知，“三角变换与解三角形”这部分除了几个常用公式以外，更重视这些公式的应用。因此，这部分教与学的难点，与教学重点有诸多重合，也往往与掌握和使用解决问题的方法与策略有关。在教与学的过程中，主要或常见的难点是： 1. 两角和与差余弦公式的推导：一般来说，我们会用数形结合的工具来推导两角和与差的余弦公式。而任何教材上介绍的证明方法，都不是很难理解。比较困难的是，如何引导学生自行探究推导的方法与途径。同时，引导学生关注、探讨自己找到的解决问题的方法是否对任意角皆适用，也有一定难度。 2．经角度变换或代数变形后的公式识别：正如在“教学重点”中所述，由于这部分所学内容公式多且结构复杂，在题目中呈现时又多有变形，所以，给学生识别公式带来很多困扰。其中，最常见的难点是： （ 1 ）公式需由“展开”化简为“合并”形式； （ 2 ）公式中有一些量替换为常数； （ 3 ）结合“换元法”进行角的变换，再与三角公式综合应用的问题； （ 4 ）常用三角公式形式经代数变形以后的应用问题。帮助学生克服这些难点的主要策略就是从角的关系、函数关系、运算关系入手，识别可用的公式，并选择使用公式的方法或途径。 3．函数模型的识别：三角变换常用于函数问题。但当变换前的函数表达形式比较复杂时，学生往往会因为不能确定变形的方向而困惑。帮助学生提高识别能力的主要策略是以函数学习内容的整体结构为基础，帮助学生逐步理解、掌握常用的函数类型，并不断提高根据（变形前）函数的特征大致确定变形方向的能力。 4．与角的变换有关的条件等式问题：一般来说，与角的变换有关的条件等式问题，往往因为已知条件（等式）和待求中角的表达形式有一定的差异，使得学生看不清“已知”与“待求（证）”之间的关系，盲目变形。其结果或者是造成解题过程繁琐、不严谨，或者是越变越乱，无法解决问题。这类情况的解决策略，主要是应不断提高学生的“换元”意识，通过适当换元，使得题涉各角之间的关系变得更为明确、简洁，从而帮助学生辨析、选择解决问题的方法或途径。 5．三角形的综合问题：所谓三角形的综合问题，主要是指解三角形问题中，那些条件比较多、表述方式比较复杂，解决问题的方法综合性或灵活性比较强的问题。这类问题，学生往往因为不能整体把握题目条件、待求之间的关联而无法顺畅、清晰地设计、实现解题程序。我们可以通过指导学生根据问题的类型（如：求值，证明，判断三角形形状等等），分析、归纳解决各类问题常用的策略，来帮助学生不断提高解决三角形综合问题的能力。 二、“三角变换与解三角形”的教学策略 （一）三角公式推导的教学过程设计 1．两角和与差的余弦公式 一般来说，我们会先推导两角和与差的余弦公式，再利用诱导