高中数学 第二章 函数 2.1.4 函数的奇偶性同步练习（含解析）新人教B版必修1.docVIP

2.1.4 函数的奇偶性同步练习 1．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过点(　　)． A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a)) C．(－a，－f(a)) D．(a，) 2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，则在R上f(x)的表达式是(　　)． A．y＝x(x－2) B．y＝x(|x|－2) C．y＝|x|(x－2) D．y＝|x|(|x|－2) 3．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)＜0的x的取值范围是 (　　)． A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,2) 4．已知f(x)，g(x)均为奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5(ab≠0)，则F(x)在(－∞，0)上的最小值为________． 5．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，它们的定义域均为{x|x≠±1}，若，则f(x)＝________，g(x)＝________. 6．函数f(x)＝a(a≠0)的奇偶性为________，若a＝0，奇偶性为________． 7．设f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且有f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围． 8．已知函数 (a、b、c∈Z)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)＜3. (1)求a、b、c的值； (2)判定f(x)在(－∞，0)上的单调性． 9.已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)＜0，试问在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论．  参考答案 1. 答案：C 解析：奇函数f(x)满足f(－a)＝－f(a)． 答案：B 解析：x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，验证知，B正确． 答案：D解析：∵f(x)在R上为偶函数，又f(2)＝0， ∴f(－2)＝0，又f(x)在(－∞，0]上是减函数． ∴f(x)在[0，＋∞]上为增函数， ∴x∈(－2,2)时，f(x)＜0. 答案：－1 解析：F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2＝－af(x)－bg(x)＋2＝－[af(x)＋bg(x)]＋2， ∵F(x)在(0，＋∞)上有最大值5， ∴af(x)＋bg(x)有最大值3. ∴F(x)在(－∞，0)上有最小值－3＋2＝－1. 答案：　 解析：∵，① ∴， 即.② 由①②联立方程组可求得答案． 答案：偶函数　既是奇函数又是偶函数 解析：f(－x)＝f(x)＝a(a≠0)；a＝0时，f(－x)＝f(x)＝0且f(－x)＝－f(x)＝0. 解：∵f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增， ∴f(x)在(0，＋∞)上递减． ∵， ， 且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)， ∴2a2＋a＋1＞2a2－2a＋3， 即3a－2＞0.解得. 解：(1)∵函数 (a、b、c∈Z)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)． 故， 即－bx＋c＝－bx－c. ∴c＝0. ∴. 又f(1)＝2，故.而f(2)＜3，即，即， ∴－1＜a＜2. 又由于a∈Z， ∴a＝0或a＝1. 当a＝0时， (舍去)； 当a＝1时，b＝1. 综上可知，a＝b＝1，c＝0. (2).设x1、x2是(－∞，0)上的任意两个实数，且x1＜x2，则 当x1＜x2≤－1时，x1x2＞1，x1x2－1＞0，从而f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．所以函数在(－∞，－1]上为增函数． 当－1≤x1＜x2＜0时，0＜x1x2＜1，x1x2－10，从而f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)． 所以函数在[－1,0)上为减函数． 解：F(x)在(－∞，0)上是减函数，证明如下： 任取x1、x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则有－x1＞－x2＞0. ∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)＜0， ∴f(－x2)＜f(－x1)＜0，　① ∵f(x)是奇函数， ∴f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，　② 由①②得，f(x2)＞f(x1)＞0. 于是， 即F(x1)＞F(x2)． ∴在(－∞，0)上是减函数． 1