2017河北省枣强县中学高三数学课件《53向量的数量积与应用》.pptVIP

能力训练 全优中高考网 全优中高考网 单击此处编辑母版标题样式 * 向量的数量积的概念 【例1】 设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题 ①(a·b)c－(c·a)b＝0； ②|a|－|b||a－b|； ③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直； ④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2. 其中是真命题的有________． 【解析】对于①，b与c是不共线的两个非零向量，且a·b与c·a不能都为零，故①错误． 对于②，由三角形的两边之差小于第三边知②正确． 对于③，由向量的数量积的运算法则，得[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0， 所以[(b·c)a－(c·a)b]⊥c，故③错误． 对于④，由于(3a＋2b)·(3a－2b)＝9a2－4b2＝9|a|2－4|b|2，故④正确． 答案：②④ 判断上述问题的关键是掌握向量的数量积的含义．向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)． 【变式练习1】 下列命题中正确的个数是________. ①若a·b＝0，则a＝0或b＝0； ②(a·b)·c＝a·(b·c)； ③若a·b＝b·c(b≠0)，则a＝c； ④a·b＝b·a； ⑤若a与b不共线，则a与b的夹角为锐角． 【解析】当a≠0时，由a·b＝0/ b＝0，且对任意与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0，故①错．(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a通常并不是共线的，故②错．设a与b的夹角为α，b与c的夹角为β，则由a·b＝b·c，得|a|cosα＝|c|cosβ/ a＝c，故③错．由于向量数量积满足交换律，故④正确．向量的夹角是指两向量起点相同时两个方向所成的角，可为[0°，180°]范围内的角，故⑤错． 答案：1 向量的夹角 数量积的定义和性质是解决垂直问题与夹角问题的重要方法．(1)题中通过垂直的充要条件，得到|a|＝|b|，这是本题的突破口．在等式2a·b＝b2中，不能“约去b”，得出“2a＝b”，注意这一点与实数乘法不同．(2)题中，向量的夹角范围是[0，π]，并且注意a2＝|a|2及夹角公式的应用．同时，a与b的夹角是钝角，可以得到a·b0，但这并不是a与b的夹角为钝角的充要条件．因为a与b的夹角是180°时也有a·b0.因此第二问要排除掉a与b反向的情形．想一想：若a与b的夹角是锐角时又要注意什么呢？ 【变式练习2】 已知a和b的夹角为60°，|a|＝10，|b|＝8，求： (1)|a＋b|； (2)a＋b与a的夹角θ的余弦值． 向量的平行与垂直 【例3】 设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)． (1)若a⊥(b－2c)，求tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的取值范围； (3)若tanαtanβ＝16，求证a∥b. 【解析】(1)b－2c ＝(sinβ－2cosβ，4cosβ＋8sinβ)， a·(b－2c) ＝4cosα(sinβ－2cosβ)＋sinα(4cosβ＋8sinβ) ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0. 所以tan(α＋β)＝2. 向量的平行与垂直问题是高考的热门话题，要牢记向量平行与垂直的充要条件，根据已知条件灵活运用． 平面向量综合应用 本例是向量、函数、导数应用的典型例子．第(2)问中两种解法是解决向量垂直的常见方法：方法1是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；方法2是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的(但运算过程大大简化，值得注意)．第(2)问中求函数的单调区间运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用． 全优中高考网 全优中高考网 单击此处编辑母版标题样式 *