2017河北省清河县清河中学高一数学课件《2.4+函数的单调性》.pptVIP

[分析]　①判定函数的单调性方法有图象法、定义法、利用已知函数的单调性法、求导法． ②研究复合函数的单调性，应首先求函数的定义域，然后在函数的定义域内进行求解． ③判断或证明可导函数f(x)在 (a，b)内的单调性的步骤： (ⅰ)求f′(x)； (ⅱ)确认f′(x)在(a，b)内的符号； (ⅲ)作出结论． [解答]　①方法1：设u＝log (x＋1) 由u≥0得－1＜x≤0 由u＜0得x＞0 当－1＜x≤0时，u为减函数 y＝|u|为增函数 ∴(－1,0]为y＝|log (x＋1)|的减区间 当x＞0时，u为减函数，y＝|u|为减函数 ∴(0，＋∞)为y＝|log (x＋1)|的增区间 方法2：作函数y＝|log (x＋1)|的图象 由图象可知y＝|log (x＋1)|的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－1,0]． ②由x2－3x＋2≥0得x≥2或x≤1 设u(x)＝x2－3x＋2，则y＝1－ x∈(－∞，1]时，u(x)为减函数 x∈[2，＋∞)时，u(x)为增函数 而u≥0时，y＝1－ 为减函数 ∴y＝1－ 的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[2，＋∞)． ③y′＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1) 令y′＞0得x＞1或x＜－1， 由y′＜0得－1＜x＜1， ∴y＝x3－3x的增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，减区间为(－1,1)． 　求下列函数的单调区间，并确定每一单调区间上的单调性： (1)y＝x2－3|x|＋ ； (2)y＝( )x2－x； (3)y＝log2(6＋x－2x2)． 解析：(1)∵y＝ 由图象可知，y在(－∞，－ ]及(0， ]上分别为减函数，在[－ ，0]及[ ，＋∞)上分别为增函数． 全优中高考网 全优中高考网 单击此处编辑母版标题样式 ●基础知识 一、单调性定义 1．单调性定义：给定区间D上的函数f(x)，若对于 ∈D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数．对于 ∈D，当x1x2时，都有f(x1) f(x2)，则f(x)为区间D上的减函数． 说明：①单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间． ②单调性是函数在某一区间的“整体”性质．因此，定义中的x1、x2具有任意性． 任意的x1、x2 任意的x1、x2 2．证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入手． (1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ① ； ② ； ③ ． (2)设函数y＝f(x)在某区间内可导． 如果f ′(x) 0，则f(x)为增函数；如果f ′(x) 0，则f(x)为减函数． 任取x1、x2∈D，且x1x2 作差f(x1)－f(x2)，并适当变形 依据差式的符号确定其增减性 二、单调性的有关结论 1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x) 函数． 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为 函数． 3．互为反函数的两个函数有 的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为 ；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为 ． 5．奇函数在其对称区间上的单调性 ；偶函数在其对称区间上的单调性 ． 仍为增 (减) 减(增) 相同 增函数 减函数 相同 相反 三、函数单调性的应用有： (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小． (2)求某些函数的值域或最值． (3)解证不等式． (4)作函数图象． ●易错知识 一、不理解函数单调性概念而失误． 1．函数f(x)＝ 的单调减区间为________． 答案：(－∞，0)和(0，＋∞) 2．已知f(x)为偶函数，在(0，＋∞)为减函数，若f( )＞0＞f( )，则方程f(x)＝0的根的个数是________． 答案：2 二、求函数的单调性时忽视函数定义域而失误． 3．函数y＝log0.7(x2－3x＋2)的单调性