7.3低通IIR滤波器设计.PPT

73  第七章 数字滤波器的设计 主讲: 江铭炎 副院长, 博士后,教授 地址: 山东大学 信息科学与工程学院南楼203 电话: 0531Email: jiangmingyan@sdu.edu.cn 当低通原型滤波器的带宽与变换后带通滤波器带宽相同，即 将这个限制条件加到表7.1中的频谱变换，可以得到修正的频谱变换为 一种直观的设计方法是基于对指定频率响应的傅立叶级数进行截短来设计 N 点离散傅立叶变换由其频率响应的N个等间隔的不同频率样本组成，因此该数字滤波器的冲激响应序列可以利用它的频率样本上的离散傅立叶逆变换来计算 7.6 基于加窗傅立叶级数的FIR滤波器设计 表示要求的频率响应函数 恰好是相应的冲激响应样本 给定一个频率响应指标Hd(ej?), 可以利用上式计算 hd(n), 从而确定传输函数Hd(z)。 然而在大多数实际应用中，要求的频率响应是分段的常数，并且各个频带之间有陡峭的过渡带，在这种情况下，相应的冲激响应序列是无限长并且非因果的。 我们的目标是找一个长度为2M+1的有限冲激响应序列 {ht[n]}， 它的离散时间傅立叶变换 Ht(ej?) 在某种程度上逼近所求的离散时间傅立叶变换。 7.6.1 FIR滤波器的最小积分平方误差设计 一种常用的逼近准则是最小积分平方误差 Parseval’s 关系 当-M?n? M 时，ht[n]=hd[n]，则积分平方误差最小，或者换句话来说，在均方误差准则下，理想无限长冲激响应的最佳和最简单的有限长逼近是通过截短来得到的 冲激响应为h[n]的因果FIR可以通过将 ht[n]延时M个样本后得到: 7.6.2 理想滤波器的冲激响应 理想L带数字滤波器HML(z)的零相位频率响应 : ?1 ?2 ?3 ?4 ? ? A1 A2 A3 A4 A5 理想Hilbert变换器，也称为90度相移器 理想的离散时间微分器，用于在离散时间域上对连续时间信号的抽样值进行差分运算 对于给顶的理想滤波器的冲激响应系数进行简单截短，得到的因果FIR滤波器的幅度响应呈现振动的现象，通常称为Gibbs现象 随着滤波器长度的增加，通带和阻带的波纹数增加，而波纹的宽度相应减小，但是在截止频率两边出现的最大波纹的高度仍然保持不变，它与滤波器的长度无关，并且近似等于理想滤波器通带和阻带幅度差的11% 在其他类型的理想滤波器冲激响应的截短频率响应中，同样可以观察到类似的现象 产生Gibbs现象的原因可以解释为：截短运算可以认为是将无限长冲激响应系数与一个有限长的窗序列 w[n]相乘的结果 7.6.3 Gibbs现象 Normalized frequency/? Normalized frequency/? Normalized frequency/? w[n], N=21 方窗 -0.4? 0.4? * Normalized frequency/? Normalized frequency/? N=21 -0.4? 0.4? * N=61 Normalized frequency/? Normalized frequency/? Normalized frequency/? 主瓣宽度定义为中心频率点?=0 两侧的两个最近的零值点之间的距离：4?/(2M+1)，它决定了主瓣的性质。频率响应中的其他波纹成为旁瓣. 随着M的增大，主瓣和旁瓣的宽度都随之减小。但是主瓣和旁瓣下的面积都保持不变。这表明随着M的增加，波纹的振幅没有减小 当M增加到某一程度，主瓣非常窄，Ht(ej?)将会很接近 Hd(ej?)，但这会增加运算的复杂度 矩形窗在-M?n?M 以外的范围有陡峭的下降沿，它是加窗理想滤波器冲激响应序列出现Gibbs现象的原因，. Gibbs现象可以通过采用两边都逐渐平滑减少到零的窗函数，或从通带到阻带有平滑的过渡带的方法来减少。使用渐变的窗函数可以使旁瓣的高度减小，但使主瓣的宽度相应地增加，结果在不连续点间出现了更宽的过渡带 Hann: 7.6.4 固定窗函数 Hamming: Blackman: Rectangular: 一个窗函数的性能主要取决于它的两个参数，即主瓣宽度和相对旁瓣级 相对旁瓣级是最大旁瓣与主瓣以dB为单位的幅度差值 最大通带偏移和最小阻带值之间的距离近似等于窗的主瓣宽度 为了保证从通带快速过渡到阻带，窗函数应该有一个非常小的主瓣，另一方面，为了减小通带和阻带波纹，旁瓣下的面积也要求非常小。遗憾的是，这两个要求是相互矛盾的。 Rectangular Window Hamming Window * ? Mingyan Jiang,