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广义非线性轴向运动弦的参数分析 　　The Parameter Analysis of an Axially Moving Nonlinear String 　　Zhang Xi 　　（Nanjing Agricultural University，Nanjing 210095，China） 　　 　　摘要： 本文的研究对象是服从边界控制的非线性轴向运动弦。弦线的运动方程以及边界条件都是根据Hamilton原理得出的。Laypunov关于运动的稳定性理论，特别是他的“直接法”，为非线性系统的稳定性分析提供了一个有效且方便的工具，已经成为近代控制论的一个坚实的基础。 　　Abstract: In this paper, we address vibration suppression of an axially moving nonlinear string subject to the boundary control. The equation of motion and the boundary conditions are derived from Hamiltons Principle. Lyapunovs direct method provides an effective and convenient tool for the stabilization analysis of nonlinear and linear system. 　　关键词： 非线性运动弦 Hamilton原理 Lyapunov直接法 　　Key words: nonlinear axially moving string；Hamiltons Principle；Lyapunovs direct method 　　中图分类号：G42 文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）14-0230-02 　　1物理背景及研究进程 　　动力传送带、磁带、纸带、纺织纤维、带锯、空中缆车索道、高楼升降机缆绳、单索架空索道等多种工程系统元件，忽略抗弯刚度时均可模型化为轴向运动弦，沿轴线方向平移、受较大轴向力作用而张紧的弦线。轴向运动弦线纵向振动及其控制的研究有着重要的应用价值。例如，在磁带装置中，振动导致信号调制和加速磁带磨损。又例如，汽车发动机的平带驱动系统中带的振动将产生噪声和影响发动机运转的平稳和可靠。同时，轴向运动弦线作为陀螺连续系统，其振动的激励响应关系、稳定性分析、数值仿真和控制系统设计等也提出若干重要的理论问题。轴向运动弦线纵向振动分析和控制已成为一个较为活跃的研究领域。 　　1.1 轴向运动弦线的线性振动轴向运动弦线纵向振动的研究起源于1987年Skutch的工作。轴向运动弦线纵向位移较小时，可采用线性振动模型。主要研究内容包括自由振动的固有频率和本征函数，受破振动的稳态和瞬态响应，受较复杂约束弦线和弦线与其他元件耦合的振动，轴向张力涨落和轴向运动速度变化导致参数振动的稳定性等。 　　轴向运动弦线纵向线性振动研究的一个特殊方面是运动过程中能量变化的分析。在忽略阻尼的情形，轴向静止的振动弦线机械能守恒，而轴向运动弦线的机械能周期性变化。Lee和Mote进行了更一般的分析和数值验证。Renshaw等对能量关系进行了更准确的阐述，并定义了一个在振动过程中的不变量。能量及守恒量的研究为稳定性分析及其控制系统设计提供了依据。 　　1.2 轴向运动弦线的非线性振动1966年Mote首先研究了轴向运动弦线的非线性振动问题。轴向运动弦线非线性振动研究的早期工作主要集中于说明线性振动模型的局限，并采用非线性模型修正数量关系和解释非线性现象。近期工作主要是发展直接应用于非线性偏微分方程的近似解析法，研究黏弹性弦线和具有耦合的复杂问题。 　　轴向运动弦线的线性振动模型局限性及非线性模型的必要性由早期一系列工作所揭示。就数量关系而言，线性振动理论得到的幅频响应等结构不适用于纵向位移较大或轴向速度较大的情形，而必须加以修正。就定性现象而言，只有非线性振动理论才能解释实验中出现的跳跃现象和空间的回旋运动。 　　本文中，我们的研究对象是服从边界控制的非线性轴向运动弦，通过构造出一个能量方程，得到了这样的结论：只要在弦线的末端施加反馈，就可以保证弦线的运动是指数稳定的。 　　1.3 轴向运动弦线纵向振动的控制基于偏微分Laplace变换的频域分析是研究分布参数系统控制的有效方法。Yang和Mote将频域分析方法应用于轴向运动弦线的主动控制。他们导出包括受控弦线、反馈控制律、作动器和传感器动力学的闭环系统的传递函数，通过传递函数根轨迹图的分析建立了稳定性条件和不稳定性条件；根据这些条件分析了有一个作动器和一个传感器的控制器设计中