《泛函分析》教学大纲-兰州大学数字化学习中心.DOC

《高等数学（物理类）》教学大纲 适用专业：通过逐步培养学生的抽象的能力、逻辑推理能力运算能力自学能力综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力为学生学习后续课程和进一步获得近代科学技术知识奠定必要的数学基础。理解函数的概念；掌握函数的表示法；会画简单的分段函数的图形；会建立简单实际问题中的函数关系式。 理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；了解函数 与其反函数 之间的关系（定义域、值域、图形）；理解复合函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形；理解初等函数的概念。 理解极限的概念；理解函数的左、右极限的概念；了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 掌握极限的性质和四则运算法则；掌握判断极限存在的两个准则，会用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法。 理解无穷小和无穷大的概念；掌握无穷小的比较方法，会利用等价无穷小代换求极限；掌握无穷小和无穷大的关系。 理解函数的连续（一点处、区间）的概念；了解一点处左、右连续的概念；了解函数在一点连续和极限存在的关系；会判断函数间断点的类型；掌握初等函数在其定义区间上连续的性质。理解闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理和介值定理，会在实际问题中应用这些性质。了解一致连续的概念。 2.一元函数微分学 理解导数的概念；了解导数的几何意义，会求平面曲线在一点处的切线、法线方程；掌握可导性和连续性的关系；掌握基本初等函数的求导公式；掌握函数的四则运算求导法则和复合函数的求导法则，会求反函数的导数；了解左、右导数的概念，会求分段函数的导数。 理解高阶导数的概念，会求简单函数的 n 阶导数；掌握隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会对数求导法。 理解微分的概念；掌握微分的运算法则，会求函数的微分；掌握可微与可导的关系；了解一阶微分形式不变性。 理解罗尔定理、拉格朗日中值定理；了解柯西中值定理；掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；理解泰勒定理。 理解函数极值的概念；掌握用导数判别函数的单调性和求极值的方法；掌握求函数最值的方法和应用；会用导数判断函数图形的凸性和求函数图形的拐点；会求平面曲线的渐近线；会描绘简单函数的图形；理解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 3 ．一元函数积分学 理解原函数和不定积分的概念及它们之间的关系；掌握不定积分的基本公式；理解定积分的概念；掌握不定积分和定积分的性质及定积分的中值定理；理解定积分的几何意义；了解函数可积的充分条件。 理解变上限定积分所定义的函数的性质，会对其求导数；掌握微积分基本定理—Newton-Leibniz公式；掌握换元积分法和分部积分法；会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。掌握两种反常积分的概念；会计算反常积分，会判断反常积分的收敛性。 掌握微元法；掌握用定积分求一些几何量和物理量的应用（平面图形的面积、平面曲线的弧长，旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积、功、引力、压力等）。 4 ．向量代数与空间解析几何 理解空间直角坐标系；理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向数、方向余弦和向量在坐标轴上的投影；掌握向量的运算（线形运算、数量积、向量积和混合积）。 理解平面方程和直线方程的概念；会求平面方程和直线方程；会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角；会求点到平面、点到直线的距离；会判断平面与平面之间的位置关系（平行、垂直）；会判断直线与直线之间的位置关系（平行、垂直、相交）；会判断平面与直线之间的位置关系（平行、垂直、直线在平面上）。 理解曲面方程和曲线方程的概念；了解常用的二次曲面方程及其图形；会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的参数方程和一般式方程；了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 5．多元函数微分学 理解多元函数的概念；理解 n 维点集特别是平面点集的概念；理解二元函数的几何意义；了解二元函数的极限和连续性的概念；理解多元函数偏导数和全微分的概念；掌握偏导数和全微分的求法；掌握多元复合函数一、二阶偏导数的求法；掌握隐函数的求导法则。 了解全微分存在的充分条件和必要条件；了解一阶全微分形式的不变性；理解方向导数与梯度的概念，并掌握其求法；了解向量值函数及其微分法。 了解空间曲线的切线和法平面及曲面的法线和切平面的概念，会求它们的方程；了解n元函数的二阶泰勒公式和二元函数的n阶泰勒公式；理解多元函数极值和条件极值的概念；掌握多元函数极值存在的必要条件和二元函数极值存在的充分条件；会求二元函数极值；会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求多元函数的最值，并会解决一些应用问题。 6 ．多元函数积分学 理解二重积分和二重积分的概念；了解重积分的性质和二重积分中值定理；掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）；会计算三重积分（直角坐标、