《泛函分析》教学大纲-兰州大学物理学院.DOC

《高等数学（物理类）》教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称、所属专业、课程性质、学分； 高等数学，物理类，公共基础课，6学分。适用于理科基地班和物理，力学，计算机，自然地理，资源环境等专业的非基地班，教材选用[1]，[2]。理科其它专业的非基地班（如化学，生物，草科等）可采用教材[3]。 （二）课程简介、目标与任务；高等数学课程是综合大学理科各专业必修的一门重要基础理论课，是为培养学生的基本素质、学习后续课程服务的。通过本课程的学习，逐步培养学生的抽象思维的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、自学能力以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，为学生学习后续课程和进一步获得近代科学技术知识奠定必要的数学基础。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 没有先修课，是后续课程的基础。 （四）教材与主要参考书。 [1] 张志强，高等数学 (一元微积分)，兰州大学出版社，2008-8。 [2] 张志强，高等数学 (多元微积分)，兰州大学出版社，2008-8。 [3] 张志强，高等数学强化与考研教程 (第一册)，兰州大学出版社，2008-8。 [3] 张志强，高等数学强化与考研教程 (第二册)，兰州大学出版社，2008-8。 二、课程内容与安排 下面打“*”号的内容是基地班要讲授的，对非基地班来说，这部分内容或不讲，或选讲，或只介绍必要的结论，可视具体情况而定。对个别虽非基地班但对数学要求较高、课时较为充裕的专业（如力学专业），应尽量按基地班的要求讲授。对有些学时较少的专业，还可对下面所列的教学内容作进一步的删节。 第一章 函数与极限（20―24课时） 第一节 变量与函数 函数的概念，表示法，函数性态的简单讨论，反函数，复合函数及初等函数。 第二节 极限的概念 收敛变量，变量的极限，七种极限过程，用定义求极限的几个例子，无穷大量与无界变量。 第三节 极限的性质与运算法则 极限的基本性质，极限的四则运算法则，*Stolz定理。 第四节 极限存在的判别法及两个重要极限 夹挤定理，单调有界定理，*Cauchy收敛准则，Heine定理，*数列与其子数列的收敛关系。 第五节 无穷小量与无穷大量的阶 无穷小量与无穷大量阶的比较，记号O,o及∽,主要部分及无穷小（大）量的阶数。 第六节 连续函数 函数的连续性，函数的间断点，连续函数的运算性质及初等函数的连续性，*一致连续性的概念，闭区间上连续函数的性质。 第二章 导数与微分（12课时） 第一节 导数概念 几个实际例子，导数的定义，导数的几何意义，用定义求导数的几个简单例子。 第二节 求导法则 导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的导数，隐函数的导数，参数方程所表示函数的导数。 第三节 微分及其运算 微分的定义与性质，微分的运算，微分应用于近似计算与误差估计。 第四节 高阶导数与高阶微分 高阶导数的概念，高阶导数的运算法则，参数方程及隐函数的高阶导数，高阶微分。 第三章 中值定理及其应用（14―16课时） 第一节 微分中值定理 三个微分定理的引入，条件和结论，证明及推论。 第二节 罗必塔法则 基本不定式，其它形式的不定式。 第三节 泰勒公式 公式的引入，余项的不同形式，基本初等函数的麦克劳林展式及其几个简单的应用。 第四节 函数几何性质的讨论 单调性，极值，最值，凹凸与拐点。 第五节 函数图形的描绘 渐进线，函数作图的一般步骤。 第六节 曲率 概念的引入，曲率的计算，*密切圆与渐屈线。 第四章 不定积分（10―14课时） 第一节 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的定义，不定积分基本公式，不定积分的运算法则和直接积分法。 第二节 两个基本积分法 换元积分法，分部积分法。 第三节 有理函数的积分 待定系数法，*奥氏法。 第四节 三角函数的有理函数的积分 万能代换，整角代换，降幂法及其它。 第五节 简单无理函数的积分 分式线性函数的有理幂，*欧拉代换，*二项微分式的积分。 第五章 定积分（14―16课时） 第一节 定积分的概念和性质 概念的引入，定义，可积分性，几何意义，性质。 第二节 微积分基本定理 *用定义计算定积分的几个例子，牛顿-莱布尼兹公式。 第三节 定积分的换元法与分部积分法。 第四节 定积分的应用 微元分析法，平面图形的面积，特殊立体的体积，曲线弧长，定积分在物理、力学中的应用。 *第五节 定积分的近似计算 第六节 广义积分的基本概念 无穷积分，瑕积分。 第六章 广义积分与无穷级数（20―26课时） 第一节 数项级数 定义及收敛性，收敛级数的性质，正项级数，任意项级数，绝对收敛级数。 第二节 广义积分的收敛性 无穷积分和数项级数的关系，无穷积分的收敛判别法，欧拉积分。 第三节 函数项级数的一般概念 收敛种种，*一致收敛性