2014全国名校数学试题分类汇编28幂函数与函数的图象.docx

【文·广东珠海市高三第二学期学业质量检测】21．（本小题满分14 分）已知函数（1）当? 时，求 f （x）的最大值；（2）讨论函数的单调性；（3）如果对任意恒成立，求实数a的取值范围．【知识点】（1）导数法求函数的最大值。（2）导数法求函数的单调区间。（3）分类讨论确定不等式恒成立的条件。【答案解析】（1），（2）在 上单调递增；在上单调递减（3）.解析：解：（1）当时，.........................2分.所以的增区间为（0,1），减区间为...................................3分所以..............................................4分对函数定义域为求导得：，................................ 5分下面对参数a进行讨论如下：当时，，故f(x)在上单调递增................................................6分当时，，故f(x)在上单调递减.............................................7分当时，令，解得则当当故在 上单调递增；在上单调递减..............8分(3) 不妨设：①当时，，故在上单调递增，即恒成立，构造函数，须证在上单调递增，即证即恒成立.当时，则由-4x+10得，不合题意，即，则；根据二次函数y= 开口方向向上，对称轴x= ；所以只需可得，解得.........................10分②当时，，故在上单调递减，去绝对值整理，即有恒成立，构造函数，须证在上单调递减，令 得恒成立. 根据二次函数开口方向向下，对称轴x= -；所以只需可得，解得.......12分.③当时，在 上单调递增；在上单调递减；此时等价于恒成立或者恒成立，由前面过程可知：，这与不符，故此种情况无解.综上所述：实数a的取值范围是.【思路点拨】对函数f(x)求导,得到递增和递减区间,进而得到最小值; (2)对函数求导,然后对a分情况进行讨论得到其单调区间; (3)分①当时, ②当时, ③当时进行讨论,在这三种情况中分别找到a的范围，最后再把值取并集.【理·湖北宜昌高三模拟·2014】若a, b, c为正实数且满足，则的最大值为________．【知识点】一般形式的柯西不等式；平均值不等式在函数极值中的应用．【答案解析】解析：解：由柯西不等式，∵当且仅当a+1=2b+1=3c+1即a=2，b=1，c=时等号成立，∴的最大值为．【思路点拨】利用柯西不等式得（a2+b2+c2）（m2+n2+p2）≥（am+bn+cp）2进行求解即可．【理·湖北宜昌高三模拟·2014】函数有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 【知识点】函数的零点．【答案解析】 D 解析：解：当m=0时，令f（x）=-2x+1=0，求得x=，满足条件．当m≠0时，函数f（x）=mx2-2x+1图象是抛物线，且与y轴的交点为（0，1），由f（x）有且仅有一个正实数的零点，则得①对称轴x=＞0，且判别式△=4-4m=0，求得m=1．或者②对称轴x=＜0，解得 m＜0．综上可得，实数m的取值范围{m|m=1，或m＜0}．故选D．【思路点拨】当m=0时，令f（x）=-2x+1=0，求得x=，满足条件．当m≠0时，函数f（x）=mx2-2x+1图象是抛物线，且与y轴的交点为（0，1），由f（x）有且仅有一个正实数的零点，则得①对称轴x=＞0，且判别式△=4-4m=0，或者②对称轴x=＜0，分别求得m的范围，再取并集，即可得实数m的取值范围．【典型总结】本题主要考查函数的零点的定义，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．【理·湖北孝感高中高三5月摸底·2014】3.设是奇函数，则使的的取值范围是（ ）A. B. 、 C. D.【知识点】奇函数的定义；对数函数的单调性.【答案解析】A解析：解：由此式恒成立，可得，则.【思路点拨】首先由奇函数的定义，得到的解析式的关系式，求出a，然后利用对数函数的单调性解之.