分岐解析-KurodaLabUniversityofTokyo.PPT

Hopf分岐は生物学的にとって一番重要な分岐である 周期振動をつくる「エンジン」の正体 定常解　?? リミットサイクル リミットサイクルの存在が保証されている! 固有値を調べるだけでよい Poincaré-Bendixsonの定理で証明する必要なし ますます重要になる振動現象 Hes1　(Notch signaling system) mRNA転写が2時間周期 体節の発生に必要 Hirata et al. (2002) Science 「MAPKカスケードは振動している」 西田, 2006年日本分子生物学会フォーラム 現状 「フィードバック」ということしか解明されていない 数理的な解析が威力を発揮する Toggle switch 双安定性を示す人工遺伝子回路のモデル 対称性: xとyを入れ換えても同じ式 Gardner et al. (2000) Pitchfork分岐 a=2 a2 a x x y y 分岐図が熊手のように 見えるので ”pitchfork” Stable Stable Unstable y 演習 ヌルクラインを相平面上に描く ベクトル場の概略を描く 固定点のx座標の条件式を求める a=2を境に固定点が1個?3個に変化することを確認する a=4の場合について、ヤコビ行列を求める ヤコビ行列の固有値を求める まとめ 連続値の微分方程式で離散的な分岐現象が起きるのはなぜか? パラメータの値によってヌルクラインの交点の数が変わるから (Saddle-Node, Pitchfork) パラメータの値によってヤコビ行列の固有値の符号が変わるから (Hopf) Further readings Strogatz, S.H, “Nonlinear dynamics and chaos”, Perseus Books Publishing, 1994. (ISBN 0-7382-0453-6) バイオロジストにとって最良の非線形力学系教科書 Borisuk and Tyson (1998)の背景知識学習にも最適 Fall, C.P., Marland, E.S., Wagner, J.M. and Tyson, J.J. “Computational cell biology”, Springer, 2002. (ISBN 0-387-95369-8) Bendixsonの基準など、振動条件に関する記述がわかりやすい Borisuk, M.T. and Tyson, J.J., “Bifurcation analysis of a model of mitotic control in frog eggs”, J. Theor. Biol. 195:69-85, 1998. アフリカツメガエルの卵における細胞周期調節 ありとあらゆる分岐が登場 ケーススタディに最適 * 勉強会「紙と鉛筆で学ぶシステム生物学の数理」 sysbioの数学をマスターするには システム生物学で使う数学は多岐にわたる まとめて勉強しにくい 生物、物理の例が無い純数学の本は挫折しやすい まとまった演習の必要性 人間、自分の手で解いてみないと腑に落ちない コンピュータにやらせていることの本質を理解する 目的 「紙と鉛筆で解ける演習問題に取り組み、システム生物学で使う数学の”primer”を腑に落とす。」 Primer とは 以後の独習の出発点となりうるだけの基礎 演習 紙と鉛筆で解ける問題 生物などの例を盛り込んでわかりやすく この勉強会用に作成する教材を一冊の演習書にまとめる 運営方針 講師：　柚木克之（黒田研?特任助教） 教材：　「紙と鉛筆で学ぶシステム生物学の数理」の原稿 一回につき90分が目安 区切りのいいところで演習を行う(全員) 指名された参加者が前に出て黒板で解く 参加者は教材の改善案を挙げ、多数意見ならば改訂に採用 取り上げる予定の数理的手法 分岐解析 代謝流束解析 常微分方程式の数値解法 システム生物学と多変量解析 システム生物学と制御理論 確率微分方程式の数値解法　… 等々 初回が好評であればこのように続ける予定 紙と鉛筆で学ぶシステム生物学の数理第1章: 分岐解析 柚木克之(ゆぎ?かつゆき) 分岐解析とは? 生化学パスウェイのモデル Ordinary Differential Equations (ODEs) いわゆる非線形力学系 ODEsの解 速度論定数を変える ある点で振る舞いが変わる 定常状態 振動 境界となるパラメータ値を見つけること k1.2x10-2 sec-1 k1.2x10-2 sec-1 Borisuk and Tyson (1998) 連続系の離