基于拓扑马蹄的混沌动力学研究进展 - 动力学与控制学报.PDF

第１０卷第４期２０１２年１２月 动力 学 与控 制 学报 Ｖｏｌ．１０Ｎｏ．４ １６７２６５５３／２０１２／１０ ／２９３６ Ｄｅｃ．２０１２ ⑷ ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＤＹＮＡＭＩＣＳＡＮＤＣＯＮＴＲＯＬ 基于拓扑马蹄的混沌动力学研究进展 １ ２ 李清都 　杨晓松 （１．重庆邮电大学非线性电路与系统研究所，重庆　４０００６５）（２．华中科技大学数学与统计学院，武汉　４３００７４） 摘要　拓扑马蹄理论是混沌研究的重要分支，是迄今为止能够达到数学严格性的核心混沌研究方法之一． 基于简明的空间几何化思想，拓扑马蹄为非线性系统复杂行为的数值与理论研究搭建了一座桥梁，从而人 们可以进行混沌行为的不变集刻画、存在性证明、拓扑熵估计、以及内在机制揭示等一系列研究．本文希望 通过综述当今基于拓扑马蹄的混沌研究必威体育精装版进展，使研究者深入了解这套功能强大的方法体系，并能加以 应用．本文首先从人们所熟知的Ｓｍａｌｅ马蹄开始介绍现代拓扑马蹄理论的发展历程；然后介绍了当今的拓扑 马蹄引理，讨论了拓扑马蹄存在条件和相应的搜寻方法；最后，利用拓扑马蹄研究的工具箱ＨｓＴｏｏｌ，以经典 离的散Ｈéｎｏｎ映射和著名的Ｓａｉｔｏ电路为例，展示其拓扑马蹄的研究过程． 关键词　混沌，　拓扑马蹄，　符号动力学，　拓扑熵，　庞加莱映射 析其本质，进而引出现代拓扑马蹄理论． 引言 混沌动力学一般是指在动力学系统中表现出 来的复杂的、貌似无规则的长期的随机行为，它遵 循简单的，确定性的规则．在动力学系统中这种行 为是随处可见的，例如电路，震荡化学反应，流体动 力学，行星主体的运动等． 混沌的特点是对初始条件的敏感依赖性，也就 图１　Ｓｍａｌｅ马蹄以及其中的横条和竖条 Ｆｉｇ．１　Ｔｈｅｓｍａｌｅｈｏｒｓｅｓｈｏｅａｎｄｉｔｓｖｅｒｔｉｃａｌａｎｄｈｏｒｉｚｏｎｔａｌｓｔｒｉｐｓ 是说一个动力系统若从两个初始状态开始演化，不 管两者初值有 ２ 我们知道，一个同胚映射，如果存在 Ｓｍａｌｅ马 ｆ：Ｄ ｆ（Ｄ） Ｒ 多接近，但经过一段 →  ２ 时间后，两者之间表现出明显不同．这种性质在自 蹄，那么该映射必然混沌．考虑一个正方形Ｄ Ｒ，  然界、工程学中是普遍存在的．著名的蝴蝶效应就 以及微分同胚．如果ｆ将 Ｄ映射成图１所示的图 是个例子，这正好解释了为什么提前几天的天气预 形，即，首先Ｄ沿竖直方向以小于１／２的比例收缩， 测不能准确． 然后水平方向以大于２的比例拉伸，最后折叠成马 从几何方面来看，在混沌的一系列的数值特征 蹄形状覆盖到Ｄ上，那么我们称ｆ在Ｄ上有Ｓｍａｌｅ ［１］ 中，由Ｓ．Ｓｍａｌｅ发现的马蹄是最重要的特征 ．现 马蹄．在处理实际问题时，Ｄ的形状并不要求一定 在的马蹄和它的相关理论已发展成非线性学科的 是正方形，ｆ（Ｄ）也不一定像图１那样规则，只要Ｄ 一个重要分支，并且在很多学科中都有广泛的应 和ｆ（Ｄ）能保持像图１那样的相对位置关系（也就 用，包括机械系统、非线性电路、神经