希尔伯特本人.PPT

思考题 如果只要求找出次品乒乓球，并不要 求判断次品是过重还是过轻，那么三次使 用不带砝码的天平，最多可以从多少个 乒乓球中找出唯一的次品？ 第二节　希尔伯特和他的23个问题 一、 希尔伯特的23个问题 希尔伯特（德国，1862—1943年）是19世纪末和20世纪上半叶最伟大的数学家之一。他提出的23个问题更是功勋卓著、影响深远。 那是1900年8月在巴黎召开的国际数学家大会上，年仅38岁的希尔伯特做了题为《数学问题》的著名讲演，根据19世纪数学研究的成果和发展趋势提出23个问题，成为数学史上的一个重要里程碑。 在世纪之交提出的这23个问题，涉及现代数学的许多领域。一个世纪以来，这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴趣，对20世纪数学的发展起着巨大的推动作用。 希尔伯特的23个问题 1.证明“连续统假设”，即证明“可数基数” 与“连续统基数”之间不存在任何基数。 2.研究算术公理的相容性。 3.两个等底等高的四面体的体积相等。 4.直线作为两点间最短距离的问题。 5.李（S.Lie）的连续变换群概念，但不要 定义群的函数的可微性假设。 6.物理学的公理化。 7.某些数的无理性和超越性。 8.素数问题。 9.在任意数域中证明最一般的互反定律。 10.丢番图方程的可解性。 11.系数为任意代数数的二次型。 12.阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代 数有理域上的推广。 13.不可能用仅有两个变数的函数解一般 的七次方程。 14.证明某类完全函数系的有限性。 15.舒伯特(Schubert)计数演算的严格基 础。 16.代数曲线与代数曲面的拓扑问题。 17.正定形式的平方和表示。 18.用全等多面体构造空间。 19.正则变分问题的解一定是解析的吗？ 20.一般边值问题。 21.具有指定单值群的线性微分方程解的 存在性证明。 22.通过自守函数使解析关系单值化。 23.变分法的进一步发展。 二、 适当的问题对科学发展的价值 1． 有问题的学科才有生命力 问题，在学科进展中的意义是不可否认的。一门学科充满问题，它就充满生命力；而如果缺乏问题，则预示着该学科的衰落。正是通过解决问题，人们才能够发现学科的新方法、新观点和新方向，达到更为广阔和高级的新境界。 提出数学问题的动力，不仅来自数学以外的客观世界，也来自数学内部的逻辑发展。例如：素数的理论；非欧几何；伽罗瓦理论；代数不变量理论。 2． 提出一个“好的问题”是不容易的 这是因为在解决问题前，要想预先判断一个问题的价值是困难的，问题的价值最终取决于科学从该问题得到的收益。因此，只有对该学科的知识有广泛而深入了解的学者，对该学科的发展有清醒的认识和深刻洞察力的学者，才能提出有较大价值的“好的问题” 。 3． “好的问题”的标准 尽管有困难，人们仍希望给出“好的 问题”的一般标准。希尔伯特在他的演讲 中就提出了这样的标准。我们把它归纳叙 述如下： 1）清晰易懂 即，问题本身应很容易解释清楚，让别人听懂。希尔伯特说：“一个清晰易懂的问题会引起人们的兴趣，而复杂的问题使人们望而生畏。” 2）难而又可解决 希尔伯特说：“为了具有吸引力，一个数学问题应该是困难的，但又不应是完全不可解决，而使我们劳而无功。” 3）对学科发展有重大推动意义 问题解决的意义，不是局限于问题本身，而是波及整个学科，推动整个学科的发展。 “好的问题” 举例 费马大定理 五次方程根式解 最速降线问题 三体问题 三、“希尔伯特问题”解决的现状 经过整整一个世纪，希尔伯特的23个问题中，将近一半已经解决或基本解决。有些问题虽未解决，但也取得了重要进展。 能够解决一个或基本解决一个希尔伯特问题的数学家，就自然地被公认为世界一流水平的数学家，由此也可见希尔伯特问题的特殊地位。 希尔伯特问题的研究与解决，大大推动了许多数学分支的发展，这些分支包括：数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、变分法等。第二问题和第十问题的研究，还促进了现代计算机理论的成长。 重要的“问题”，历来是推动科学前进 的杠杆。但一位科学家，如此自觉、如此 集中地提出如此一整批问题，并且如此持 久地影响了一门学科的发展，这在科学史 上是仅有的。 在20世纪末，人们也想模仿19世纪 末的希尔