慎用公式.DOC

[科目] 物理 [关键词] 重点/难点/圆周运动 [文件] zdld24.doc [标题] 慎用公式 [内容] 慎用公式 江西新余市江西二化子校 熊泉鑫 一、从一道试题讲起 如图1所示是一个绕地球作椭圆轨道运行的人造地球卫星。卫星在远地点b距地心的距离是近地点a距地心距离的2倍．设卫星在a点的速度是vl，角速度是ω1，向心加速度是a1；在b点的速度是v2，角速度是ω2，向心加速度是a2．则v1＝（ ）v2，ω1＝（ ）ω2，a1＝（ ）a2.（选自哈尔滨出版社，“北大、清华、人大附中高中毕业班各科试题解” p．200第5题） 书中给出答案是：v1＝v2，ω1＝ω2，a1＝4a2。我认为前二个答案是错误的，其解答过程书中虽未给出，但要得到上面的结论必采用了如下推理过程。根据动力学知识： ∵，rb=2ra； 又∵ ，，rb=2ra ∴ 这种解法不是什么近似处理方法，而完全是一种错误。 我们知道卫星所受地球的引力总是指向地球的，是一种有心力，因此卫星对地心的动量矩应守恒，即在a、b二处有ra×mva= rb×mvb。 同时，卫星与地球组成的系统内，只有保守力对卫星做功，故系统机械能也应守恒．即在 a、b二处有；。 但若将原题给出的答案代入上述二个守恒定律，可知都是不成立的。 二、错在哪里呢？ 我们知道，公式F=mv2/R中的R是物体作曲线运动在轨道某处的曲率半径；公式F＝GMm／R2中的R是指相互吸引的二物体质心间的距离。二者不能混为一谈。卫星作圆周运动时其曲率半径处处与圆半径相等，也等于卫星与地球质心间距离，卫星在椭圆轨道上运行时情况就不一样了。 根据数学分析知识曲率半径由公式给出，为了便于求导借助椭圆的参数方程x＝acosφ，y＝bsinφ（a、b分别为椭圆的半长轴、半短轴），把x、y的一、二阶导数代入R表达式，有．在远地点和近地点，参数Φ分别取0、π代入，上式得。（c为椭圆焦距）这个结果说明卫星在a、b二处轨道曲率半径相等，并不等于ra=a－c或rb＝a＋c。 为直观起见，过a、b二处以b2/a为半径作曲率圆O1与O2（见图2）。由椭 圆对称性易知，O1与O2（曲率中心）必在长轴上。 卫星在轨道a、b二处运动瞬间，可看作在小圆弧A/aA//和B/bB//上运动，即时速度va、vb均与所受引力垂直，此力全用来产生法向加速度，因此有： ∵， ， Ra=Rb，rb=2ra，va＝2vb。 位个结果代入动量矩守恒定律，其正确性显而易见．同时由它不难导出与机械能守恒定律相同的表达式。 ， ，Ra=Rb=R 二式相减得，在椭圆有：ra=a-c，rb=a+c，。将这三个关系式代入上式，可整理得： 移项即得机械能守恒定律。 三、角速度的相对性． 由于他心位置、曲率中心O1、O2相对于椭圆轨道平面均为静止的，va与vb的关系本无论对地心或O1、O2只有唯一解，而角速度对上述三个位置却有不同的值。 设卫星在极短时间Δt内，在a、b二处附近掠过微小孤长分别为和（见图 2），它们对地心张角分别为∠A/MA//，∠B/MB//；对各自曲率中心张角分别为∠A/O1A//， B/O2B//。从图2中很容易看出，卫星在a、b处对地心角速度之比同对各自曲率中心角速度之比是不等的。 令ωa、ωb为卫星在a、b二处对地心的角速度，根据开普勒第二定律 有： ∵，rb=2ra， ∴ωa=4ωb。 又令、为卫星在a、b二处对各自曲率中心的角度，根据动力学知识有： ∵ ， rb =2 ra，，Ra=Rb；∴。 上述二个不同的答案都反映了卫星运动的同一客观事实，均属正确．原题中给出的答案。显然是错误的。由于题中未作特殊说明，所以参照物取地球，结果应取ωa＝4ωb。 必须指出，由于中学阶段数学知识的限制，像椭圆这样的曲线运动问题让中学生去做是不适合的。