浅谈量子噪声.DOC

淺談量子噪聲 文/吳欣澤、葉崇傑 一、前言 日常生活中，我們常習於用平均值來代表一個系統的特性。比如說一個地方的平均氣溫、一個國家的平均國民所得、一個班級的平均成績等等。然而，仔細想起來，這樣單純一個數真的能忠實地反應出整個系統的狀態嗎？答案顯然是（或幾乎完全是）否定的！比如說一個平均成績50分的班級，其實可以有各式各樣的可能性：它可能是一個常態分佈，但也可能是一個雙峰分佈（如圖一）。可以想見，這樣兩個班級是非常不同的！又例如一個地方的平均年降雨量若是1200公釐。這些降雨量是平均分佈在十二個月份，或是集中在一年中某一天的下午就有很大的差別。前者風調雨順，後者就可以拿來拍電影了（…這部電影叫「明天過後」?!）所以說，對一個複雜的系統而言，單單知道它的平均特性是不夠的。那我們要如何對它有更深一層的瞭解呢？我們必須研究它的「擾動」或者「漲落」﹙fluctuations﹚。 大家或許都知道，對一個統計系統，如果要研究它平均特性之外的行為—也就是所謂的「漲落」—最簡單的一個計算量即是所謂的「標準差」。例如，對隨機變數x，如果將它的平均值表示成，則其標準差即 。 很明顯的，由的大小我們可以知道整體而言變數x偏離平均值的程度—也就是系統「起伏漲落」的大小。所以，由標準差的大小，我們就可以知道一個平均50分的班級，到底是程度集中還是分散；一個平均年降雨量1200公釐的地方，到底是天堂還是地獄。 圖一 過去二十幾年來，物理學家們面對的重大挑戰之一，包含了處理所謂「強關聯系統」（strongly correlated systems）的問題。顧名思義，這類系統中由於粒子與粒子間有極強的交互作用（即所謂「強關聯」），使得傳統微擾理論無法適用。而在這樣的系統中，系統偏離平均特性往往可以提供我們關於粒子交互作用的資訊。因此，藉由研究類似標準差的物理量—也就是所謂的「量子噪聲」（quantum noise）—物理學家可以得到許多關於強關聯系統的寶貴訊息（參見文獻〔1,2〕）。本文的主要的目的，即在於簡介「量子噪聲」能提供我們的資訊，以及在求取這些資訊時應該要注意的一個現象—即系統環境引起的所謂「回饋效應」（feedback effect）。 一般而言，當我們探討一個導體的傳導特性時，往往我們想到的第一個物理量即是它的電導（或是它的倒數—電阻）。然而，我們即將看到，由於電流是單位時間內通過導體的平均電量，電導（或電阻）所反映出的，其實只是系統平均的特性。那麼我們如何探討導體傳導性質偏離平均的行為呢？而這樣的研究又能告訴我們什麼呢？ 讓我們來想像一下導體導電時導體內部的微觀狀態：當我們在導體兩端施加電位差時，導體中的載荷粒子便會因為所造成的外加電場而漂移，進而傳導電流。由於電荷的基本單位是不連續的（亦即單電子電荷），可以想見，電荷在電極間的流動通常不會是均勻的。換言之，單位時間內通過導體的平均電量（也就是「電流」）會作起伏擾動（也就是「噪聲」）。不難想像，這些擾動的大小除了與溫度高低造成的「熱擾動」強度有關之外，也與粒子間交互作用的強弱、特性有極大的關係。換句話說，假如我們仔細分析這些起伏擾動的大小、特性，我們便可以從中得到關於粒子間交互作用的寶貴資訊。 有了物理圖像之後，接下來的問題是：如何精確描述（也就是計算）這些物理量呢？首先，用量子力學的語言，通過導體的電流可以表為 。 其中是電流算符，表示量子以及統計上的平均。因此，很明顯的電流（或是電導、電阻）所反映的，其實只是系統平均的特性。想要得到系統中關於粒子與粒子間的相干特性，我們便須進一步去研究系統中電流的「漲落」—亦即是「噪聲」。可以想見，我們所需計算的物理量其實與(1)式相當類似。同樣使用量子力學的符號，所謂的噪聲可表為 。 這個物理量我們也稱為「電流相干函數」。那麼，我們可以由噪聲得到什麼資訊呢？舉例來說，由所謂的夏基公式﹙Schottky formula﹚我們可以決定系統中由於粒子間交互作用形成的「準粒子」所帶的等效電量。例如分數量子霍爾效應﹙fractional quantum Hall effect﹚中，帶「分數電荷」的準粒子就可以利用這個方法量得。 事實上，假使一個導體與多個電極相接，除了(3)式定義的電流相干函數之外，我們還可以考慮類似的物理量 。 上式中下標代表電極的編號；也就是說我們可以考慮通過不同電極的電流之間的相干特性。這樣一個物理量可以提供我們什麼資訊呢？它可以告訴我們系統中載荷粒子的統計特性。 我們知道，自然界的粒子可以歸納為「費米子」與「玻色子」兩大類（但在低維度系統中，理論上可以有其他的可能性）。前者遵守所謂的包立不相容原理，也就是任意兩個等同的費米子不能佔有相同的量子態，而後者則否。事實上，不難證明等同