直角坐标系中微分长度、面积、体积.PPT

第 1 章 矢量分析 主要内容： 标量和矢量 坐标系 标量的梯度 矢量的通量、散度、高斯定理 矢量的环流、旋度、斯托克斯定理 亥姆霍兹定理 一、标量、矢量、场 标量: 只有大小而没有方向的量. Scalar 矢量: 不但有大小而且有方向特征的量. Vector 矢量描述 有向线段、文字、单位矢量、分量表示、“力线” 标量、矢量举例 标量：电压、温度、“内力”…. 矢量：作用力、场强…. 场: 在指定的时刻，空间每一点如果可以用一个量唯一地描述，则该量函数定出了场. Field 二、场的重要特性 “电磁场”的概念 电磁学：研究电荷效应——运动/静止电荷 运动电荷产生电流，电流产生磁场 “场”——空间分布的量 时变的磁场和电场是同时存在的——电磁场 电磁场可以产生“波”——“发射/辐射” 理论对比 三、矢量代数 2.矢量的“乘积”计算：点积、叉积 2.1 点积——标量积(Scalar Product)…(是标量) 大小、符号： “模”： “正交”： 例题：证明“三角形余弦定理” 解题： 2.2 矢量的叉积 标量三重积 记忆1：“循环互换规律” 记忆2：“平行六面体体积” 矢量与矢量场的不变性 直角坐标系(笛卡儿坐标系) 直角坐标系中微分长度、面积、体积 柱面坐标系 微分长度 “三度”、“三定理” 标量的“梯度” 矢量的“通量”和“散度” 矢量的“环量” 梯度运算的基本公式 散度运算的基本公式 旋度运算的基本公式 关于“三度三定理”中的第三个定理 不同坐标系下的表示 柱面坐标系中： 笛卡儿坐标系中： 球坐标系中： 如何记忆？ 笛卡儿坐标系中微分长度 柱面坐标系中微分长度 球坐标系中微分长度 例 题 已知： 求： 令： 法一：直接法——求坐标系梯度公式！ 法二：分析法——找规律！ 利用笛卡儿坐标系！ 答案1 答案2 都 对 !! 矢量 沿某一有向曲面 的面积分为 通过 的通量. 矢量沿某一有向曲面的面积分称为通过该面的通量。 通量(Flux) 散 度 散度定义：单位体积的净流散通量 Divergence——div 散度表示 有向场中任一点处 通过包围该点的单位体积之表面的 通量。 柱面坐标系中： 笛卡儿坐标系中： 球坐标系中： 不同坐标系下的散度表示 需要记住在笛卡儿坐标系中： 先看散度定义：单位体积的净流散通量 那么： 散度定理 散度定理：矢量场散度的体积分 ＝该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量 也叫“高斯定理” ——Gauss’s Law 矢量的环量：该矢量沿有向闭合路径的线积分 矢量 沿闭合路径 的环量＝ 水的漩涡 矢量的 “旋度” 旋度的定义 Curl——curl ——面环流密度 ——方向：面元的取向使净环量值最大 ——大小：无限小面元，单位面积上 的净环量 斯托克斯定理 斯托克斯定理：矢量场旋度的面积分 ＝该矢量沿包围该表面的封闭曲线的积分 ——Stokes’s Law 先看旋度的定义 电磁场与电磁波 北京邮电大学 占有一个空间，客观存在 可以用数学模型来描述 除个别点和表面，物理状态连续 静态场：物理状态与时间无关 动态场：…………随时间变化而变化——时变场 “电路”理论 电路理论处理“集中参数”系统(注1) 注1：由电阻、电容、电感等具体元器件组成； 系统变量主要指：电压、电流 直流电路中：系统变量是常量，数学工具：代数方程 交流电路中： 标量， 微分方程 “电磁场”理论 系统参数：大小、方向、分布 ——“空间”、“矢量” ——“矢量代数”、“矢量偏微分方程” 电磁场理论主要处理“分布参数”系统 矢量的“和/差”计算：作图法、分量法 (2) 分量法 A+B 思路： (1) C长度~矢量C的“模”： (2) 矢量C是矢量A和B的矢量和： 叉积是矢量积(Vector Product) …(是矢量) O “模”： O 方向： “右手螺旋法则”   O 物理含义： 1. “平行四边形面积” 2. “右手法则”—— 1. 2. 3. 标量三重积 Scalar Triple Product 5. 矢量三重积 Vector Triple Product 矢量叉乘的性质 平行六面体“体积”＝“底面积”ד高” “体积”——唯一性?上等式成立 “平行六面体体积” 在任一时刻，描述场的物理状态分布的函数是唯一的。 ——大小、方向是唯一的。 因此，引入多种坐标系，以方便地进行分析。 坐标系： 直角坐标系： 柱坐标系： 球坐标系： ——Cartesian Coo