第三章 序列及Z变换.PPT

第三章 序列及Z变换 §3-1 离散时间信号—序列 1. 序列的定义 在离散信号处理过程中，序列表现为按一定先后次序排列的在时间上不连续的一组数的集合。用下面符号表示： 2. 常用序列 单位抽样序列 常用序列 以上三种序列之间关系 常用序列 单边指数序列 常用序列 正弦、余弦序列 常用序列 周期序列 常用序列 若 2?/?0 为有理数 a ,即 2?/?0 =a ,则正弦序列仍为周期序列，但周期是 a 的整数倍。证明如下： 例3-1：对一连续正弦时间信号f(t)=cos(2?t) ，按不同的时间间隔 TS 进行抽样，得到如下正弦序列的结果。 3. 序列的运算 与连续时间系统的研究类似，离散时间系统的分析中，也包括信号的各种运算。 序列的运算 序列的尺度变换 序列的运算 序列的分解 §3-2 序列的Z变换(ZT) §3-3 常见序列及其ZT §3-4 Z 变换的性质 §3-5 Z 反变换 线性性 ROC 时域平移性 双边ZT 单边ZT 左移 右移 左移 右移 ZT的性质 时域扩展性 扩展因子a 1 -1 相当于在原序列每两点之间插入a-1个零 相当于原序列先反褶，再每两点之间插入-a-1个零 如果序列是偶对称的，则 如果序列是奇对称的，则 如果一个偶对称或奇对称序列的ZT含有一个非零的零点( 或极点) z0 ，那么它必含有另外一个与z0 互为倒数的零点(或极点)1/z0 。 ZT的性质 时域共轭性 如果一个序列是实序列，则 如果一个实序列的ZT含有一个零点（或极点）z0 ，那么它必含有另外一个与之共轭对称的零点（或极点）z0* Z域尺度变换（或序列指数加权） 可以用复指数序列调制一个序列的相位特性。 ZT的性质 Z域微分（或序列线性加权） ROC唯一可能的变化是加上或去掉零或无穷。 初值定理 X(z)是因果序列x(n)的Z变换，则 终值定理 X(z)是因果序列x(n)的Z变换，则 只有在极限存在时才能用，此时X(z)的极点必须在单位圆内（如果位于单位圆上则只能位于z=1，且是一阶极点）。 ZT的性质 时域卷积定理 卷积的ZT的ROC至少是原序列ZT的ROC的交集。当出现零极点相抵时，ROC可能会扩大。 ZT的性质 Z域卷积定理 设 C1和C2收敛域重叠部分内逆时针旋转的围线 的收敛域为 帕斯瓦尔定理 Z 变换的目的是把线性移不变离散系统和信号序列从时域变换到复频域，为求解系统差分方程和研究线性系统的结构带来方便。但最终还要将复频域的求解结果经过 Z 反变换还原为时域的结果。 Z 反变换的三种方法： 幂级数展开法 部分分式展开法 围线积分法(留数法) 1. 部分分式展开法 把 X(z)展开成常见部分分式之和，然后分别求各部分的逆变换，最后把各逆变换相加，即可得到x(n)。通常展开的对象是X(z)/z，而不是 X(z)。 2. 幂级数展开法 把X(z)按z-1展成幂级数（通常是使用长除法），那么其系数组成的序列x(n)即为所求。 这种方法有时给不出一个闭式表达式。 Z反变换 Z反变换 例 2-4 Z反变换 例 2-5 围线积分法： 已知序列x(n)的Z 变换为 在X(z)的收敛域内选取一条包围坐标原点的闭合围线C，如图所示。 Z反变换 3. 留数法(围线积分法) 为求得Z逆变换x(n)，将上式两边分别乘以在 zm-1，然后沿围线C 的逆时针方向积分，得 将上式右边的积分与求和顺序互换，得 (1) 根据复变函数理论中的柯西积分公式，得 将此结果代入上式中，则方程右边只存在n=m一项，其余各项均为零。于是(1)式变为 Z反变换 将 m用 n 置换，得 (2) 上式即为X(z)的逆变换的围线积分表达式。 通常X(z) zn-1是 z 的有理函数，若极点是孤立极点，可借助于留数定理计算(1)式的围线积分，即 (3) 如果X(z) zn-1在 z= zi 处有r 阶极点是孤立极点，则留数由下式计算。 zi 表示X(z)zn-1 极点，Res 表示求极点处的留数。 (4) 若 r=1，即单极点的情况，上式变为 (5) Z反变换 在应用式(3)、(4)、(5)时，应随时注意收敛域内的围线所包围的极点的情况，对于不同的 n 值，在处的极点可能具有不同的阶次。 例2-6 已知某序列的Z 变换为 求原序列x(n) 。 解： 利用式(2.2-9)得 式中围线C 取半径大于a 的一个圆，并就n?0及n0两种情况进行讨论： 当n?0时，围线C 中只有z=a 一个极点，因此有 Z反变换 当n0时，除z=a点有