戴华《矩阵论》 第一章线性空间与内积空间.ppt

矩 阵 论;目 录;;;;教学目的：; 线性空间是线性代数最基本的概念之一，是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向量空间在元素和线性运算上的推广和抽象。 线性空间中的元素可以是向量、矩阵、多项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉的一般运算，也可以是各种特殊的运算。;;;;;;;例4 次数不超过 的所有实系数多项式按通常多项式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间 ;例5 集合 不是 一个线性空间。因为加法不封闭。;;向量的线性相关性： 线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、秩等定义和结论都可以推广到一般线性空间。;;;;;;;;证明： 取?1= ?2= ?3= 则?1,?2,?3线性无关. 对线性空间V中的任一向量可表示成 A= =a11 ?1 +a12 ?2 +a22 ?3 即A可由?1,?2,?3线性表出。所以 Dim（V）=3 ;;;;注:;例1.3.1 线性空间 是实数域 上的二维空间，其基可取为 ，即C中任一复数k=a+bi（a,b?R）都有a+bi=(1,i)( ),所以(a,b) T即为k的坐标。;例 1.3.2 实数域 R上的线性空间R [x]n中的向量组 1，x， x2 ,… xn-1 是 基底， R [x]n的维数为 n。 ;例1.3.4 在线性空间 中，显然 是 的一组基，此时多项式 在这组基下的坐标就是; 由题， 在基 下的坐标为;例1.3.5 已知矩阵空间 的两组基：;解;类似地，; 则基 ( III ) 到基 ( I ) 的过渡矩阵为;而基 ( III ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵为;从而;注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义, 线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。 ;;N(A)称为矩阵A的零子空间或核空间,也记为Ker(A)；;例1.4.3 设A?Rm?n，记A={a1,a2,…an},其中ai?Rm，则k1a1+k2a2…+knan是Rm的子空间，称为矩阵A的列空间（或值域）,记为R(A)或Im(A)。 即R(A)={y|y=Ax,x?Rn}; 注：判定非空集合是否为线性空间，要验算运算的封闭性，以及8条运算律，相当地麻烦。至于判定线性空间的子集是否为线性子空间，则很方便.;;;;;例1.4.4 设 是线性空间 的子空间，且 则;证明 由子空间和的定义，有 V1+V2=span(?1,?2…?s)+span(?1, ?2…?t) ={(k1?1+k2?2…+ks?s)+(l1?1+l2 ?2…+ lt?t)| ki,lj ?P} =span(?1,?2…?s,?1, ?2…?t);例1.4.5; 所以可令; 由例1.4.4 ;定理1.4.7（维数公式） 设 是数域 P 上线性空间 的两个有限维子空间，则它们的交 与和都是有限维的，并且 ;;;;;例1.4.6 设 分别是 阶实对称矩阵和反对称矩阵的全体。显然容易证明 均为线性空间 的子空间。试证明;;;;;;;; 定义1.6.2 设V为内积空间，V中向量?的长度或范数定义为 ,长度为1的向量称为单位向量 注：如果? ? 0，则 是单位向量。;;;;;;;;;;;例1.6.1 运用正交化与单位化过程将向量组 化为标准正交向量组。 解：先正交化 ;再单位化 ;其解空间的一个标准正交基底。 解： 先求出其一个基础解系 下面对 进行正交化与单位化：;即为其解空间的一个标准正交基底。;;; 正交性的应用主要是通过正交投影来实现的。无论是微分方程数值解中的有限元方法等谱方法及其大量应用，还是最优化理论（主要是极值问题）及其在控